可行的预编码矢量通用表达式

（1）Sub1：此时预编码矢量应该满足以下条件：

根据式（3-18）可知，v＝Γ（G1）x，其中，x是具有合适维度大小的任意非零矢量。将v＝Γ（G1）x代入式（3-19），得到H21Γ（G1）x＝0⇔x＝Γ（H21Γ（G1））y，其中，y是具有合适维度大小的任意非零矢量。因此，Sub1中预编码矢量具有以下通项式

其中，z是具有合适维度大小的任意非零矢量。

（2）Sub2：此时预编码矢量应该满足以下条件：

由前面的分析可知，G1v＝0⇔v＝Γ（G1）x。并且，由于矩阵G1和H21相互独立，H21Γ（G1）x≠0总是成立。但是，由于我们只对线性无关的预编码矢量对感兴趣，且Sub1中的预编码矢量优先级更高，所以Sub1中考虑过的预编码矢量在不再在Sub2中考虑。因此，Sub2中预编码矢量有如下通项式：

（3）Sub3：此时预编码矢量应该满足以下条件：

将v＝Γ（H21）x和w＝Γ（H12）y代入式（3-28）得到

根据引理2-3知，满足式（3-29）中的x和y有如下通项式：

其中，z1和z2是具有合适维度大小的任意非零矢量；，和由矩阵对（（G1Γ（H21））H，（G2Γ（H12））H）的GSVD分解给出，且分别对应Ψ12，Λ1，Ψ22，Λ2和s。因此，Sub3中预编码矢量v有如下通向式：

注意到Γ（H21）Γ（G1Γ（H21））同时是Sub1的解空间的基向量，而Sub1相比Sub3具有更高优先级，因此，在Sub3中我们只考虑以下矢量对：

（4）Sub4：此时预编码矢量应该满足以下条件：

将w＝Γ（H12）y代入式（3-37）得到(www.xing528.com)

根据引理2-3知，满足式（3-38）中的v和y有如下通项式：

其中，，和由矩阵对（G1H，（G2Γ（H12））H）的GSVD分解给出，且分别对应Ψ12，Λ1，Ψ22，Λ2，和s。注意到Γ（G1）同时是Sub1∪Sub2的解空间的基向量，而Sub1∪Sub2相比Sub4具有更高优先级，因此，在Sub4中我们只考虑以下矢量对

此外，由于信道矩阵H21与H12、G1、G1均相互独立，因此将v代入式（3-35），不等式总是成立。

（5）Sub5：此时预编码矢量应该满足以下条件：

应用类似Sub4中预编码矢量通向式的推导，我们得到Sub5中预编码矢量的通项式如下：

其中，和由矩阵对（（GaΓ（Haa））H，GbH）的GSVD分解给出，且分别对应Ψ12，Λ1，Ψ22，Λ2和s。

（6）Sub6：此时预编码矢量应该满足以下条件

根据引理2-3知，满足式（3-50）中的v和w有如下通项式：

其中，和由矩阵对（GH1，GH2）的GSVD分解给出，且分别对应Ψ12，Λ1，Ψ22，Λ2和s。注意到Γ（G1）同时是Sub1∪Sub2的解空间的基向量，而Sub1∪Sub2相比Sub4具有更高优先级，因此，在Sub6中我们只考虑以下矢量对

另外，由于信道矩阵都相互独立，将式（3-53）及式（3-54）分别代入式（3-48）和式（3-49），不等式总是成立。