可达安全传输速率的优化方案

在本小节中，我们将问题（2-5）进行重构，使之能够用Gauss-Seidel的方法进行处理。Gauss-Seidel方法如下，我们每次固定一部分变量，优化其余变量，使得可达安全传输速率最大，由此给出一种迭代优化的算法。

引理2-1　任意给定一个正定矩阵E∈N×N，以下等式成立

并且，当S*＝E－1时，等式右边取得最大值。

证明：请参考文献[93]。

应用引理2-1，以下等式成立

其中，φb（S0）＝－tr{S0（I＋G2QjG2H）}＋ln｜S0｜＋Nb。将式（2-7）代入（2-3），得到

应用引理2-1，以下等式成立

其中，φe（S1）＝－tr{S1（I＋H2QjH2H＋G1QaG1H）}＋ln｜S1｜＋Ne。将式（2-9）代入（2-4），得到

将式（2-8）和（2-10）代入（2-5）中，对（2-5）进行重构，可达安全传输速率可以表示成以下形式：(www.xing528.com)

其中。

观察（2-11），我们发现，尽管θ（S0，S1，Qa，Qj）仍然是非凸的，固定变量{Qa，Qj}后，问题可以简化为关于Si的凸问题；或者固定Si，i＝0，1，问题可以简化为关于{Qa，Qj}的凸问题。因此，利用Gauss-Seidel的办法，通过迭代优化问题（2-11）中的变量{Qa，Qj}和Si，i＝0，1，可以找到关于问题（2-11）的一个局部最优解。具体的步骤如下。

（1）固定{Qa，Qj}，优化Si，i＝0，1，以最大化θ（S0，S1，Qa，Qj）。令Si*为此时的最优解，根据引理2-1可知，

S*0＝（I＋G2QjGH2）－1

S*1＝（I＋H2QjHH2＋G1QaGH1）－1

（2）固定{S0，S1}，优化{Qa，Qj}，以最大化θ（S0，S1，Qa，Qj）。此时，由于θ（S0，S1，Qa，Qj）关于{Qa，Qj}是凸的。因此，可以应用CVX工具包来求解最优的{Qa，Qj}。

很容易验证，以上迭代过程中，θ（S0，S1，Qa，Qj）是逐步增大的。同时，由于在给定功率大小情况下，可达安全传输速率是有上界的。因此，以上迭代算法是收敛的。值得注意的是，以上Gauss-Seidel算法并不能保证找到全局最优解。在本章的仿真分析中，我们可以看到，相比现有算法，Gauss-Seidel算法能够支持更可观的安全传输速率。