激振器偏转式自同步振动机的同步理论探析

激振器偏离机体质心的自同步振动机（或称激振器编转式自同步振动机）在工业部门中得到了应用，这类振动机的优点是机器的高度较低，对提高机体的强度和刚度也较为有利，因而这是一种有发展前途的机器，但直到现在，在已见到的国内外有关文献中，对该种自同步振动机的运动规律还未进行详细的分析研究，如计算该种振动机的振动角及机体各部位的运动轨迹尚缺乏切实可行的公式，在设计该类机器的过程中还存在一定的盲目性。因此迫切要求从理论上阐明激振器安装位置对机体振动角及运动轨迹的影响。作者在理论分析的基础上，通过对自同步直线振动筛、自同步振动输送机、自同步概率筛、自同步冷矿筛及自同步理论试验台的大量试验，证明了本书中提出的理论公式用于实际计算可以得到满意的结果。

1.自同步振动机机体的振动方程及其求解

图8-4表示了激振器偏转式自同步振动机的示意图。图中所示的O″为机体中心，O‴为两激振器轴心连线之中点，即激振器的质心，O′为其合成质心，而Oxy为固定坐标，O′x′y′为动坐标。利用拉格朗日方程建立振动方程式需先列出动能及位能的表示式。该系统的动能为

图8-4 激振器偏转式自同步振动机示意图

图8-5 激振器偏转式自同步振动机激振器安装图

该系统的位能为

当系统包含有与弹簧变形速度成正比的阻尼力时，该系统的能量散逸函数可表示为

因为前式中的ψ、ψ₀与β_i、θ_i相比，其值甚小，近似计算时可略去，再将重力位能与弹簧静变形位能消去，这时，式（8-14）、式（8-15）、式（8-16）可简化为

将动能、位能及能量散逸函数代入以下拉格朗日方程：

并取x、y、ψ及φ_j为广义坐标q_i，便可建立机体的五个运动方程式。将运动微分方程式化简，因为

再将其中的绝对值相同而符号相反的项消去，可以得到简化后的系统的运动微分方程式：

求方程前三式中的x、y、ψ的稳态解时，可以把偏心块回转的角速度_j看作是常数，即其加速度_j≈0，并可用模态分析方法求解。为此，首先应建立正规化模态矩阵，而求正规坐标上的稳态解，最后可求出原坐标上振动方程的解，所求的稳态解应具有以下形式：

式中的A_xi、B_xi、A_yi、B_yi、A_ψi、B_ψi由一般分析法求出。

根据多数自同步振动机远离共振的工作特性及为了使问题简单化，并能满足工程计算所需精度，这里仅研究f_xψ=f_ψx=0，f_yψ=f_ψy=0，k_xψ=k_ψx=0，k_yψ=k_ψy=0的系统，这时方程的前三个方程便成为独立方程。后面仅讨论两激振电动机做反向同步回转的情况，即

且取m₀₁=m₀₂=m₀，r₁=r₂=r，方程可写成

前面三个方程的稳态解为

2.利用哈密顿原理求同步性条件

根据式（8-20）求速度x·、y·和角速度ψ·，再代入式（8-18）中，得到以下动能和位能的表达式：

拉格朗日函数为 L=T-V

在一个振动周期内，哈密顿作用量可表示为

式中 T₁——振动周期。

将式（8-21）、式（8-22）代入上式，得

对于自同步振动机的振动系统来说，除了前述的有势力作用之外，还有非有势力的作用，例如，两激振电动机的输出转矩M_g1、M_g2及轴承部分的摩擦转矩M_f1、M_f2作用于该系统的回转轴上。

根据哈密顿原理，当哈密顿作用量的变分与上述非有势力所做的虚功在一周期内的积分值之和等于零时，该系统的总作用量存在极值，由此可得

其中

式（8-24）可写为

式中，D为同步性指数，其值为

式中，W为稳定性指数，其值为(www.xing528.com)

由式（8-26）看出，实现同步运转的必要条件是同步性指数D的绝对值大于或等于1，即

|D|≥1 （8-28）

若|D|<1，则式（8-25′）的Δφ无解，平衡方程式不可能得到满足，即不可能实现同步运转，也就是“自同步”振动机只能在不同步情况下运转。若一个激振电动机停止供电，即M_g2=0，这时可取式（8-24）中之M_g2=0，用D₁来代替D，若|D₁|≥1，则当一个激振电动机停止供电的情况下，停止供电的激振电动机由于系统的振动，将获得一定的能量来克服摩擦阻力矩所消耗的功，这就是所谓的“振动同步传动”的工作状态。

3.同步运转状态的稳定性条件

当D与D₁的值确定后，且当|D|≥1及|D₁|>1时，便可求出相应的Δφ，Δφ有两个对应于D（或D₁）的值，例如，当D=2时，Δφ+ε=30°或150°，当D≈∞时，Δφ+ε=0°或180°。根据同步性条件，可以确定两种相对应的同步状态，现分析其稳定性：当总作用量I对Δφ的二次导数大于零时，可求得以下稳定性条件：

Wcos（Δφ+ε）>0 （8-29）

由此可见，当Δφ+ε=-90°～90°时，同步状态是稳定的，当90°<Δφ+ε<270°时，同步状态是不稳定的（因为W为正值）。因此，相位差Δφ的稳定值与ε的大小有关，Δφ的稳定值为

Δφ=（-90°-ε）～（90°-ε）

式中的ε值可按式（8-25）计算。

当自同步振动机两激振器的中心连线平行于x轴，即角ν等于零时，ε可由下式计算：

而同步性指数为

稳定性指数为

根据式（8-26），当|D|>>1时，可求得激振器1超前于激振器2的相位角为

4.机体质心的振动角β及机体各部位的运动轨迹

根据图8-5，当|D|>>1时，可求得机体质心的振动角为

对于以上的工作情况，又因Δφ=-ε，可得

下面研究几种特殊情况：

1）机器在远超共振情况下工作，且ι²>>ι²_a。在这种情况下，m_x′≈m_y′≈m，cos²α_x≈cos²α_y≈cos²αψ≈1，ι²_a可以略去，J²ψ≈J²，这时，振动角

β=90°-ν-γ≈β₀ （8-36）

由图8-6可见，机体质心的振动方向线为O″O‴。

机体上任意一点e的运动轨迹为

机体质心的运动轨迹为一条直线，而机体两端运动轨迹为长椭圆，该椭圆的回转方向与ψ的值及激振器的回转方向有关，图8-6表示了激振器回转方向与机体两端椭圆回转方向的关系。

2）机器在远超共振状态下工作，且ι²_a>>ι²。按式（8-35），可求出0，所以机体质心的振动角为

β=90°-ν

机体质心的振动方向垂直于两激振器中心的联线。根据式（8-30），若两激振器连线中点偏离机体质心，则将出现摇摆振动，这时，机体两端的运动轨迹为椭圆。

3）机器远离共振工作，且ι²_a≈ι²。这时，机体质心之振动方向线在前述两种特殊情况下的振动方向线间的某一倾斜线上。机体两端的运动轨迹为近似于直线的长椭圆。

图8-6 激振器回转方向与机体两端椭圆回转方式的关系