直齿圆柱齿轮传动强度的计算方法

1.齿面接触疲劳强度计算

1）计算公式

一对齿轮啮合时，可将齿轮齿廓啮合点曲率半径ρ1和ρ2视为接触圆柱体曲率半径，见图5.24。图中，d1和d2为节圆直径，α′为啮合角。两圆柱体的接触应力σH可按赫兹公式计算，即

图5.24　齿面接触疲劳强度计算简图

图5.24中同时给出了渐开线齿廓沿啮合线AE上各点的综合曲率半径变化情况。点A的ρ值虽然最小，但此时通常有两对轮齿啮合，共同分担载荷；节点C的ρ值虽不是最小值，但在该点一般只有一对轮齿啮合。实际上，点蚀也往往先在节线附近的齿根表面产生。因此，接触强度计算通常以节点C为计算点。

由于

试中，L为齿轮接触线长度，u为齿数比，ψd为齿宽系数。

将以上3个公式代入式（5.22），并计入载荷系数K后，得最大接触应力σH的计算式为

式5.23为校核公式。对标准齿轮传动和变位齿轮传动均适用。式中“+”号用于外啮合，“-”号用于内啮合。许用接触应力[σH]应以两齿轮中的较小者代入计算。公式中T1的单位为N·mm；b、d1的单位为mm；E、σH、[σH]的单位为MPa。

由式（5.23）可看出，齿轮传动的接触疲劳强度取决于齿轮的直径（或中心距）。模数大小由弯曲疲劳强度确定。

2）计算参数的选取

（1）重合度系数Zε。接触线长度影响单位齿宽上的载荷，它取决于齿轮宽度b和端面重合度εα。可以认为：重合度愈大，接触线总长度愈大，单位接触载荷愈小。Zε的计算式为

（2）弹性系数ZE。材料弹性模量E和泊松比μ对接触应力的影响用弹性系数ZE来表示。不同材料组合的齿轮副，其弹性系数可由表5.9查得。泊松比除尼龙取0.5外，其余均取0.3。

表5.9　齿轮融弹性系数ZE　单位：MPa

（3）节点区域系数ZH。节点区域系数ZH用以考虑节点处齿廓曲率对接触应力的影响，可由图5.25查得。

图5.25　节点区域系数ZH（αn=20°）

3）许用接触应力

许用接触应力按下式计算

式中　σHlim为当失效概率为1%时，试验齿轮的接触疲劳极限，可由图5.26查出；SHmin为接触强度的最小安全系数，参考表5.10选取；ZN为接触疲劳强度计算的寿命系数，可由图5.27查出。

有关图5.26的说明：图中ML为齿轮材料质量和热处理质量达到最低要求时的疲劳极限值线；MQ为齿轮材料质量和热处理质量达到中等要求时的疲劳极限值线，此要求是有经验的工业齿轮制造者以合理的生产成本才能达到的；ME为齿轮材料质量和热处理质量达到很高要求时的疲劳极限值线，只有具备高可靠度的制造过程控制能力时才能达到。

图5.26　试验齿轮的接触疲劳极限σHilm

图5.26　（续）

（a）铸铁；（b）正火处理的结构钢和铸钢；（c）调质处理的碳钢、合金钢及铸钢；（d）渗碳淬火钢和表面硬化（火焰或感应淬火）钢；（e）氮化钢和碳氮共渗钢

表5.10　最小安全系数

按图5.27查寿命系数ZN时，横坐标为工作压力循环次数NL。当载荷稳定时，有

图5.27　接触疲劳强度计算的寿命系数

1—结构钢、调质钢、珠光体、贝氏体球墨铸铁、珠光体黑色可锻铸铁、渗碳淬火钢（允许一定点蚀）；2—材料同1，不允许出现点蚀；3—灰铸铁、铁素体球墨铸铁、氮化的调质钢或氮化钢；4—碳氮共渗的调质钢

式中，γ为齿轮每转一周，同一侧齿面的啮合次数；n为齿轮转速，单位为r∕min；th为齿轮设计寿命，单位为h。

4）设计公式

国家标准只提出了齿面接触疲劳强度验算公式，即式（5.23），但为了设计需要，可将式（5.23）改写为如下设计公式

但由于齿轮传动的尺寸（b、d1等）均为未知数，上式中的许多系数均无法确定。因此，需要对该式进行简化。

此式对于直齿或斜齿圆柱齿轮均适用，式中Ad的值见表5.10。若与其他材料配对时，应将Ad乘以修正系数，其值见表5.11。

表5.11　Ad值及其修正系数

注：①当载荷平稳、齿宽系数较小、对称布置、齿轮精度较高（6级以上）及螺旋角较大时，Ad取较小的值；反之取较大的值。

初步计算的许用应力[σH]推荐取

2.齿根弯曲疲劳强度计算

1）校核公式

在齿轮传动中，轮齿可看作宽度为b的悬臂梁。齿根处为危险截面，可用30°切法线确定（见图5.28），具体方法为：作与轮齿中线成30°角并与齿根过渡曲线相切的切线，通过两切点且平行于齿轮轴线的截面，即为齿根危险截面。

图5.28　齿根危险截面的应力

为简化计算，假设全部载荷作用于一对齿啮合时的齿顶上，另用重合度系数Yε对齿根弯曲应力予以修正。

沿啮合线方向作用于齿顶上的法向力Fn可分解为相互垂直的两个分力Fncos αF和Fnsin αF。前者使齿根产生弯曲应力和切应力，后者使齿根产生压缩应力。其中，弯曲应力起主要作用，其余的应力影响较小，只在应力修正系数Yε中考虑。

轮齿长期工作后，受拉一侧先产生疲劳裂纹，因此齿根弯曲疲劳强度计算应以受拉一侧为计算依据。由图5.28可知，齿根的最大弯矩为

计入载荷系数K，应力修正系数YSa，重合度系数Yε后，得弯曲强度校核公式

应该注意：一对齿轮中，大、小齿轮的齿形系数YFa、应力修正系数YSa和许用弯曲应力[σF]是不同的。因此，应对大、小齿轮的YFaYSa/[σF]进行比较，并按两者中的较大值进行计算。模数应圆整为标准值。对于传递动力的齿轮，模数一般应大于1.5～2 mm。

2）公式中有关系数的确定

（1）齿形系数YFa为

由于l和s均与模数成正比，故YFa只取决于轮齿的形状（随齿数z和变位系数x而异），而与模数的大小无关。外齿轮的齿形系数YFa可由图5.29查得。

图5.29　外齿轮齿形系数YFa

图5.29中αn=20°，ham=1mn，cn=0.25mn，ρf=0.38mn。

（2）应力修正系数YSa用以考虑齿根过渡曲线处应力集中和除弯曲应力外，其他应力对齿根弯曲强度的影响。可由图5.30查得。

图5.30　外齿轮应力修正系数YSa

图5.30中，αn=20°，ham=1mn，cn=0.25mn，ρf=0.38mn；对于内齿轮，可取YSa=2.65。

（3）重合度系数Yε。重合度系数可按下式计算

3）许用弯曲应力[σF]

单向受载时，许用弯曲应力按式（5.34）计算，其表达式为

图5.31　试验齿轮的弯曲疲劳极限σFlim

（a）铸铁；（b）正火处理的结构钢和铸钢；（c）调质处理的碳钢、合金钢及铸钢；（d）渗碳淬火钢和表面硬化（火焰或感应淬火）钢；（e）氮化钢和碳氮共渗钢

图5.32　弯曲疲劳寿命系数YN

1—调质钢、珠光体、贝氏体球墨铸铁、珠光体黑色可锻铸铁；2—渗碳淬火钢、火焰或感应淬火钢；3—氮化的调质钢或氮化钢、铁素体球墨铸铁、结构钢、灰铸铁；4—碳氮共渗的调质钢

图5.33　弯曲强度计算的尺寸系数YX

a—结构钢、调质钢、球墨铸铁、珠光体可锻铸铁；b—表面硬化钢；c—灰铸铁；d—静强度（所有材料）

4）设计公式

国家标准只提出了齿根弯曲强度的校核公式（5.31），为了设计需要，在式（5.31）中，以b=ψdd1、d1=mz1代入，得设计公式

由于齿轮的参数和尺寸未知，该式中的一些参数难以确定，故如同接触强度设计公式一样，也需要进行简化。设εα=1，由式（5.33）可求得Yε=1，取载荷系数K=1.2～2，则式（5.35）可简化为

此式对于直齿或斜齿圆柱齿轮均适用，式中Am值见表5.12。

初步计算的许用弯曲应力[σF]推荐取值如下。当轮齿单向受力时，其计算式为

当轮齿双向受力或开式传动时，其计算式为

表5.12　Am值(www.xing528.com)

注：①当载荷平稳、齿宽系数较小、对称布置、轴的刚性较大、齿轮精度较高（6级以上）时，Am取较小值，反之取较大值。

3.齿轮传动主要参数选择

1）压力角α的选择

对于一般用途的齿轮传动，通常选用标准压力角α=20°。对于特殊要求的齿轮传动，可查阅有关文献，选取相应推荐值。

2）小齿轮齿数z1的选择

对于软齿面闭式齿轮传动，传动尺寸主要取决于接触疲劳强度，弯曲疲劳强度则往往比较富余。这时，在传动尺寸不变并满足弯曲疲劳强度要求的前提下，齿数宜取多些（模数相应减小）。齿数增多有利于增大重合度，提高传动平稳性；减小滑动系数，提高传动效率；减小毛坯外径，减轻齿轮重量；减少切削量（模数小则齿槽小），延长刀具使用寿命，减少加工工时。一般可取z1=20～40。

对于开式齿轮传动和硬齿面闭式齿轮传动，传动尺寸主要取决于轮齿弯曲疲劳强度，故齿数不宜过多，但不能产生根切。

3）齿宽系数ψd的选择

齿宽b和小齿轮分度圆直径d1的比值称为齿宽系数。在一定载荷作用下，增大齿宽系数可减小齿轮直径和传动中心距，从而降低圆周速度；但齿宽系数越大，齿向的载荷分布越不均匀。因此必须合理地选择齿宽系数，表5.13可供选择时参考。

为了方便装配和调整，小齿轮齿宽应比大齿轮齿宽大5～10 mm，但计算时按大齿轮齿宽计算。

表5.13　齿宽系数ψd

续表

注：轴及其支撑刚度较大时取大值，反之取小值。

4.齿轮传动的精度及其选择

在渐开线圆柱齿轮和圆锥齿轮的国家标准（GB/T 10095.1—2008和GB/T 11365—1989）中，规定了13个精度等级，按精度等级从高到低依次为0～12级。根据各类机器对齿轮传动运动准确性、传动平稳性和载荷分布均匀性这3项要求可能不同，影响这3项性能的各项公差又相应分成3个组：第Ⅰ公差组、第Ⅱ公差组和第Ⅲ公差组。3组允许选择不同的精度等级。国家标准中还规定了齿坯公差、齿轮副侧隙、图纸标注等内容。

齿轮精度等级应根据传动的用途、使用条件、传动功率、圆周速度等因素来决定。表5.14列出了常用齿轮传动精度等级及其应用，供设计时参考。

表5.14　常用齿轮传动精度等级及其应用

例5.1　试设计一闭式标准直齿圆柱齿轮传动。已知：传递功率P=18.5　kW；小齿轮转速n1=970 r/min；传动比i=3；单班制。预期使用寿命5年，每年240个工作日，在使用期限内，工作时间占50%。原动机为电动机，单向转动，有轻微震动，齿轮对称布置。传动尺寸无严格限制，小批量生产，齿面允许有少量点蚀，无严重过载。

解：选用以下两种齿面硬度进行对比。

（1）小齿轮用40Cr调质处理，齿面硬度为260 HBW，大齿轮用45钢调质处理，齿面硬度为240 HBW。计算步骤如下。

（2）小、大齿轮均为40Cr，热处理后，硬度分别为55 HRC和50 HRC。

两种齿轮通过计算进行对比，计算过程见表5.14。

表5.15　两种齿轮的对比

续表

续表

比较上面两种方案的结果看出，采用硬齿面齿轮可以显著减小齿轮结构。