相对运动解法在机构运动分析中的应用

平面机构运动分析的相对运动图解法，也称为矢量方程图解法，依据的原理是理论力学中的运动合成原理。基本方法是：首先根据运动合成原理列出机构运动的矢量方程，然后根据方程中各项已知条件按矢量图解法作图求解其中的未知量。

平面机构运动分析相对运动图解法有两种常见情况。

1.同一构件上两点间速度和加速度之间的关系

求解同一构件两点间速度和加速度之间的关系所依据的原理是：构件上任一点B的运动，可以看作随同该构件上另一点A的平动（牵连运动）和绕该点A的转动（相对运动）的合成运动，见图2.28。

在图2.28中，已知点A的速度vA，点B的速度vB可以看作随点A的牵连速度vA和绕点A的转动速度vBA的合成速度。其矢量方程为

图2.28　速度合成原理

由于矢量有大小和方向2个参数，所以每个矢量方程可以解2个未知量。同理，加速度也有同样的关系，其矢量方程为

例2.8　在图2.29所示的机构中，设已知各构件的长度lAD=85 mm，lAB=25 mm，lCD=45 mm，lBC=70 mm，原动件以等角速度ω1=10 rad/s转动，试用图解法求图示位置时点E的速度vE、加速度aE，构件2的角速度ω2、角的速度α2和构件3的角速度ω3。

解：为了求点E的速度vE，可先求点C的速度vC，然后再求vE。

（1）以μ1=0.002 m/mm为比例尺作机构运动简图，如图2.29所示。

图2.29　例题2.8图

（2）点C的速度方程分析为

该矢量方程只有2个未知量，可以通过作速度矢量多边形（简称速度多边形）求解。

（3）以μv=0.005（m/s）/mm为比例尺作其速度多边形（见图2.30），步骤如下：

①任选一点p为极点（该点的速度为0）；

图2.30　速度多边形

③过点p作垂直于CD的直线，表示vC的方向，长度待定（因为不知道速度大小）；

⑤求点E的速度。

（4）求构件2和3的角速度ω2、ω3。

（5）点C的加速度分析为

该矢量方程有3个未知量，不可解。这时，可将aC分解为法向加速度与切向加速度分量，得新的矢量方程为

图2.31　加速度多边形

注意：凡是绕某点转动的加速度都可以分解为法向加速度与切向加速度。

（6）以μa=0.005（m/s2）/mm为比例尺作其加速度多边形（见图2.31），步骤如下：

①任选一点p′为极点（该点的加速度为0）；

（7）求点E的加速度。

注意：加速度影像原理与速度影像原理类似，在将法向加速度与切向加速度合成为一个加速度考虑的前提下，从极点p′开始的矢量代表绝对加速度，其它矢量则代表相对加速度。

图2.32　两构件重合点间的运动合成

2.两构件组成移动副时重合点间的速度及加速度之间的关系

在图2.32中，设ω1为匀角速度，其机构位置、尺寸已知，求构件3的角速度ω3和角加速度α3。

（1）速度分析：构件3上重合点B的运动可以认为是随同构件2上点B运动的牵连运动和构件3相对于构件2的相对运动的合成。则速度矢量方程

只有2个未知量，作速度多边形，如图2.33（a）所示，从由可以求出vB3等，知道vB3即可求出构件3的角速度ω3=vB3/lBC。

图2.33　速度及加速度多边形示意

（2）加速度分析：同理，加速度矢量方程为

分析加速度关系式得

例2.9　已知图2.34所示机构中各构件的尺寸，原动件1以匀速v1移动，求出图示位置时构件3的角速度ω3及角加速度α3。要求列出矢量方程式，分析各矢量的大小和方向，作出速度多边形及加速度多边形的示意图。

解：（1）速度分析。

如果能求得构件3上点B的速度vB，就能求得ω3了。构件3与构件1没有直接连接，因此不可能通过v1直接求vB。构件2与构件3在点B通过铰链连接，点B是构件2与构件3的速度瞬心，所以求得构件2上点B的速度即可。

如图2.35所示，将构件1适当扩大，使其与构件2有重合点B，这时矢量方程为

该矢量方程只有2个未知量，可以通过作速度多边形求解。取比例尺μv，作机构的速度多边形，如图2.36（a）所示。构件3的角速度为

图2.34

图2.35

图2.36　速度多边形及加速度多边形

（2）加速度分析。

同理，求得构件2上点B的加速度即可(www.xing528.com)

取比例尺μa，作机构的加速度多边形，如图2.36（b）所示。

构件3的角加速度为

注意：当机构运动简图上两构件没有重合点时，可适当扩大某一构件，使两构件有重合点。因为在绘制机构运动简图时，忽略了构件的具体形状，所以扩大构件是合理的。