线性分组码的校验子关系式优化

由上可见,对于长度n的码组,需要辨别n+1个差错位置(其中一个表示无错),也就是需要r位监督码元提供2r种不同组合,每一组合对应一个差错位置,即2r=n+1=k+r+1。例如,k=4,求得2r=5+r,即r=3,n=7,编为(7,4)码;k=11,求得2r=12+r,即r=4,n=15,编为(15,11)码。

同理,r个监督关系式能指示一位错码(2r-1)个可能的位置。一般来说,若按线性分组码结构n=k+r,若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的几种可能位置,则要求

或

例如,设(n,k)码,k=4,为能纠正一位错码,按式(8.5),r≥3,取r=3,则n=4+3=7,(n,k)=(7,4)。

用S1、S2、S3表示三个监督关系式,则S1、S2、S3的值与错码位置的对应关系如表8.3所示(也可规定成另一种对应关系,这不影响讨论的一般性)。

按表8.3规定可见,一位错码位置在a2、a4、a5、a6时,S1为1,否则,S1为0,这就意味着a2、a4、a5、a6 4个码元构成的偶数监督关系为

表8.3 S1、S2、S3的值与错码位置的对应关系

同理,a1,a3,a5,a6构成的偶数监督关系为(www.xing528.com)

以及

发送端编码时,信息码a6a5a4a3的值决定于输入信号,是随机的。监督码a0a1a2根据信息码的取值和监督关系得到。若使式(8.6)至式(8.8)三式中的S1、S2、S3的值为零(编成码组中应无错码),即

则经移项运算后可解出监督码元:

根据式(8.10),由已知信息码求监督码元,计算结果如表8.4所示。

表8.4 由已知信息码求监督码元

接收端收到每个码组后先按式(8.6)至式(8.8)计算出S1,S2,S3,再按表8.3判断错码情况。例如,接收码组为0000011(a0a1a2a3a4a5a6),计算出S1S2S3为011,查表8.3后知道在a3位有错码,这样便可纠正过来。