码组检错和纠错的基本原理解析

以上述的3位二进码组的码集为例,可分成以下3种情况观察分析。

(1)第一种情况

码集中8个码组全部作为有用码组,此时d=1,在这种情况下,任一码组中有一位发生差错,就成为其他码组,接收端不能察觉差错,所以使用8个码组的码没有抗干扰能力。

(2)第二种情况

如果码集中(000),(011),(101),(110)4个作为许用码组,其余4种为禁用码组,则许用码组的d=2,若任一许用码组在传输中因受干扰而造成一位差错,则不论其差错位置在何处,都将变成禁用码组,接收端能发现差错,但不能纠正。

(3)第三种情况

若取上述8种码组的(000),(111)作为许用码组,则d=3,即使任一许用码组在传输中因受干扰而造成二位差错,都不可能变成其他许用码组。这种码组可发现一位或两位差错。

这种码组还有可能发现一位差错并纠正一位差错,原因如下。码组分成两类:{(000),(100),(010),(001)}和{(111),(011),(101),(110)}。(000)或(111)发生一位差错后的码组都在第一类或第二类的范围内。接收端收到第一类中的任一码组时,就将其判为(000),反之,收到第二类中的任一码组时,就将其判为(111),所以这种码组可以发现一位差错并纠正一位差错,抗干扰强。

在第一种情况中,d=1,无抗干扰能力。在第二种情况中,d=2,可以发现一位差错,表明有抗干扰能力。同时许用码组有4个,而现用3位二进制码有8个码组,有一半多余度(多余码元)。可见引入一定多余度后可使码组具备抗干扰能力。在第三种情况中,d=3,可以发现二位差错,并纠正一位差错,表明抗干扰能力比第二种情况的更好。所以d越大,抗干扰能力越大,由此可推得的规则有如下。

(1)第一种规则

有检出e位差错的检错能力,则必须是d≥e+1。

(2)第二种规则

有纠正t位差错的纠错能力,则d≥2t+1。

(3)第三种规则

能检出e位差错,又能纠正t位差错,e＞t,则d≥e+t+1。

第一种规则的证明过程如下。若码组A中发生一位错码,则可认为A的位置将移至以0点为圆心、以1为半径的圆上某点,其位置不会超过此圆。若码组中发生两位错码,则其位置不会超出以0点为圆心、以2为半径的圆。因此只要最小码距不小于3(图8.3中的B点),在以半径为2的圆上及圆内就不会有其他码组。就是说,当码组A发生两位错码时,不可能变成许用码组。码组A能检测错码位数等于2。同理,编码的d能检测(d-1)个错码,反之,要检出e个错码,则d≥e+1。

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图8.3 抗干扰规则示意图

例如对上述的第二情况中,对于4种许用码组(000),(011),(101),(110),如果以前2位(00),(01),(10),(11)作为信息码元(a0a1),后一位作为监督码元(a2),这样就可以看成是增加了一位码,以便监督该码组有无差错,这样添加的码元称为监督码元。

由选取的4种许用码组(000),(011),(101),(110)中,可以看出添加监督码元的规律是任一码组中的各位码元模2加应为零。这4种许用码组构成规律如表8.2所示。

表8.2 码组构成规律

由此推得,无论信息位为多少,若监督位仅有一位,要使码组无差错,码组中1码的数目要为偶数,这样其码组的模2加为零,即

这种码组能检测出奇数个错码。添加监督码元的规则是使码组的模2加为零,所以这种码组也称偶数监督码元。式(8.1)称为监督关系式。

按式(8.1)在接收解码时,实际上在计算

S=0,表示无错;S=1,表示有错。式(8.2)称为校检子关系式,它只能检测出奇数个错码,只能代表有错和无错两种信息,而不能指出错码位置。

如果监督码位增加一位,变成二位,则能增加一个类似式(8.2)的监督关系式。S1S2可能值有00,01,10,11,故能代表4种不同信息,一种表示无错,其余3种可用来指示一位错码的3个不同位置。

可见抗干扰码组的每一码组是由信息码元数k、监督码元数r组成的,码组总码元数为n=k+r。

目前纠错码编码方法是按一定规律在信源信息码元序列中插入多余性码元,这些码元称为监督码。

信道差错控制通常有两种工作方式:一种是前向纠错(FEC),接收端能准确地检测出差错的码元位置,从而自动纠正差错,使差错码元变成正确码元;另一种是反馈检错(ARQ),接收端只能对一定长度的码组检查有无差错,但不知差错的确切码元,于是通过反馈信道要求发送端重发该码组,直到接收端认为没有差错为止。

ARQ使接收端等待长延迟时间收到完整无误信息,故实时性强的系统不采用它。但ARQ效果好,设备简单,应用广泛。