变位直齿圆柱齿轮尺寸计算详解

1.计算高变位直齿圆柱齿轮

高变位直齿圆柱齿轮各部尺寸的计算，有许多是与标准齿轮相同的。如中心距a=a₀，啮合角α（齿轮节圆压力角）=α₀（齿轮分度圆压力角），齿高h也没有变化，仍然等于2.25m。但由于高变位的结果，齿顶圆直径D_a、齿根圆直径D_f和齿顶高h_a等都变了。计算公式见表4-16。

从表4-16中公式可以看出，高变位时，由于小齿轮z₁的变位系数ξ₁是正的，所以其齿顶高h_a1就增加了ξ₁m的高度，而其齿根高h_f2减短了ξ₁m的高度，这个增加或减短的距离正好等于前面所说的式（4-33）变位距X；同时由于增加和减短的高度是相等的，所以整个齿高h仍然不变。对于大齿轮z₂来说，情况正好相反，因为ξ₂是负的，所以其齿顶高h_a2减短了ξ₂m的高度。

表4-16 高变位直齿圆柱齿轮各部尺寸计算

2.计算角变位直齿圆柱齿轮

角变位齿轮啮合时，因为齿轮节圆不跟分度圆重合，所以中心距a≠a₀，按式（4-37）计算：

或

式中的λ为中心距变动系数，它表示在角变位啮合时，两个齿轮的分度圆不再相切，而是分离开了，或者相交了。为什么会这样呢？那是因为ξ₁+ξ₂≠0，所以齿轮对的直径和齿厚都改变了，因此中心距也就要相应地变动。

中心距变动系数λ可以根据变位系数和（ξ₁+ξ₂）计算出来。首先按式（4-39）计算出啮合角α：

或 ξ₁+ξ₂=（z₁+z₂）（invα-invα₀）/2tanα₀ （4-40）

然后可按式（4-41）求中心距变动系数λ：

或 cosα=（z₁+z₂）cosα₀/（z₁+z₂+2λ） （4-42）

式中 α——啮合角（齿轮节圆压力角）（°）；

α₀——齿轮分度圆压力角（°）；

inv——渐开线函数，从专门的渐开线函数表中查出数值。

但是，按上面方法计算很复杂。为了简便起见，可以利用查表4-17的方法。表中变位系数和比ξ₀与变位系数和（ξ₁+ξ₂）的关系为：

而中心距变动系数比λ₀和中心距变动系数λ的关系为：

或

λ值有正有负，随（ξ₁+ξ₂）的正负而定。

表4-17的用法和λ的计算，举例说明如下：

【例】已知一对角变位齿轮：小齿轮z₁=20，大齿轮z₂=79，m=4，小齿轮ξ₁=1.22，大齿轮ξ₂=0.955，α₀=20°，计算中心距变动系数λ和中心距A。

【解】根据式（4-43）：

再根据ξ₀的值由表4-17查出：表中最接近ξ₀=0.0438的值是0.04387与0.04369，查表λ₀相应为0.03882与0.03868，故按比例插入，取λ₀=0.03875，然后再按式（4-45）：

再根据公式（4-37）：

从上面这个例题中可以看出，中心距变动系数λ总小于变位系数和（ξ₁+ξ₂），即：（ξ₁+ξ₂）>λ。由于这两者的差异，就影响到齿轮啮合时的顶隙。为了保持标准的顶隙，就必须降低齿高。到底降低多少，要根据变位系数与中心距变动系数的差值来决定。这个差值叫做反变位系数（或者叫齿高降低系数），代号为σ，所以：

σ=ξ₁+ξ₂-λ （4-46）

算出了σ之后，就可以计算齿顶高h_a、齿高h和齿顶圆直径D_a了。计算公式如下：

h_a=m（f₀+ξ-σ） （4-47）

h=m（2f₀+c-σ） （4-48）

D_a=d+2m（f₀+ξ-σ）=m（z+2f₀+2ξ-2σ） （4-49）角变位直齿圆柱齿轮各部尺寸计算公式见表4-18。

表4-17 中心距变动系数比λ₀与变位系数和比ξ₀对照表 （α₀=20°）

（续）

（续）

（续）

（续）

（续）

表4-18 角变位直齿圆柱齿轮各部尺寸计算 （α₀=20°）

【例】 已知小齿轮z₁=11，大齿轮z₂=29，m=10，小齿轮ξ₁=0.44，大齿轮ξ₂=0.2，α₀=20°，f₀=1，c=0.25，计算这对变位齿轮各部的尺寸。

【解】 按表4-18中的公式

1）计算啮合角：

从渐开线函数表中查出：α=24°04′30″

2）计算中心距变动系数：(www.xing528.com)

3）计算中心距：

4）计算反变位系数：

σ=ξ₁+ξ₂-λ=0.44+0.2-0.582=0.058

5）计算分度圆直径：

小齿轮d₁=mz₁=（10×11）mm=110mm

大齿轮d₂=mz₂=（10×29）mm=290mm

6）计算齿顶圆直径：

小齿轮D_a1=m（z₁+2f₀+2ξ₁-2σ）=10×（11+2×1+2×0.44-2×0.058）mm=137.64mm

大齿轮D_a2=m（z₁+2f₀+2ξ₂-2σ）=10×（29+2×1+2×0.2-2×0.058）mm=312.84mm

7）计算齿根圆直径：

小齿轮D_f1=m（z₁-2f₀-2c+2ξ₁）=10×（11-2×1-2×0.25+2×0.44）mm=93.8mm

大齿轮D_f2=m（z₂-2f₀-2c+2ξ₂）=10×（29-2×1-2×0.25+2×0.2）mm=26.9mm

8）计算齿高：

h=m（2f₀+c-σ）=10×（2.25-0.058）mm=21.92mm

【例】 有一对齿轮：小齿轮z₁=21，大齿轮z₂=29，m=8，α₀=20°，f₀=1，c=0.25。要安装在中心距为208mm的两根轴上。计算各部尺寸。

【解】 按表4-15中公式求这对齿轮的标准中心距：

可知实际中心距a=208>a₀，所以按表4-15中方法应该采用角变位。首先计算变位系数：

由式（4-38）可以求出中心距变动系数λ：

再由式（4-42）求啮合角α：

查三角函数表得：α=25°22′15″。

再由式（4-40）求变位系数和（ξ₁+ξ₂）：

以上根据已定的中心距a，算出了变位系数和为1.133。但小齿轮ξ₁与大齿轮ξ₂各取多少，还要根据齿轮对的具体要求而定。在本例中，由于两齿轮齿数相近，所以变位系数也可以取为大致相等。确定取ξ₁=0.56，ξ₂=0.573。

确定了变位系数以后，就可按表4-18中的公式计算各部尺寸：

1）反变位系数：

σ=ξ₁+ξ₂-λ=0.56+0.573-1=0.133

2）分度圆直径：

小齿轮d₁=mz₁=（8×21）mm=168mm

大齿轮d₂=mz₂=（8×29）mm=232mm

3）齿顶圆直径：

小齿轮D_a1=m（z₁+2f₀+2ξ₁-2σ）=8×（21+2×1+2×0.56-2×0.133）mm

=190.832mm

大齿轮D_a2=m（z₂+2f₀+2ξ₂-2σ）=8×（29+2×1+2×0.573-2×0.133）mm

=255.040mm

4）齿根圆直径：

小齿轮D_f1=m（z₁-2f₀-2c+2ξ₁）=8×（21-2×1-2×0.25+2×0.56）mm

=156.96mm

大齿轮D_f2=m（z₂-2f₀-2c+2ξ₂）=8×（29-2×1-2×0.25+2×0.573）mm

=221.17mm

5）齿高：

h=m（2f₀+c-σ）=8×（2×1+0.25-0.133）mm=16.94mm