如何计算正多边形的尺寸及面积？

具有正多边形的工件很多，如六角螺钉、螺母、方形滑块等。如果一个正多边形有n条边，这个正多边形称做正n边形。

1，正方形对角线和边长互算

正方形的四条边都相等，它的四个角都呈直角，并且，两条对角线也相等，每条对角线平分一组对角。

在直角三角形ABC（图2-21）中，因为AB=BC，所以∠CAB=∠ACB=45°，则，这时：

a=Dsin45°=0，707D （2-23）

D=a/sin45°=1，414S （2-24）

式中 a——边长（mm）；

D——对角线长（外接圆直径）（mm）。

【例】 图2-22所示工件的上端是正方形，边长为15mm，问需用多大的圆钢才能加工成15mm×15mm的正方形？

图2-21 正方形

图2-22 方头螺钉

【解】 这是求对角线长度，用式（2-24）进行计算：

D=1，414a=1，414×15mm=21，21mm

2，正多边形各部尺寸互算

图2-23中，边长为a，外接圆直径D，内切圆直径d，d等于对边尺寸a₀，

边长a所对的圆心角为，半边所对

圆心角为。在直角三角形ABO中：，则得a

和d（S₀）互算公式：

图2-23 正多边形

又因则得a和D互算公式：

又因，则得d（a₀）和D互算公式：

式中 n——正多边形边数；

a——边长（mm）；

a₀——对边尺寸（mm）；

D——外接圆直径（mm）；

d——内切圆直径（mm）。

对于正六角形，由于半边所对圆心角，查三角函数代入式（2-25）～式（2-30）后得互算公式（图2-24）如下：

a和d（a₀）互算公式：

a=0，57735d=0，57735a₀ （2-31）

D（a₀）=1，732a （2-32）

a和D互算公式：

a=0，5D （2-33）

D=2a （2-34）

d（a₀）和D互算公式：

d（a₀）=0，866D （2-35）

D=1，155d=1，155a₀ （2-36）

【例】 要加工一个正八角柱，边长S=10mm，问最小要用直径多大的圆料？

【解】 这是求外接圆直径D，用式（2-28）进行计算：

【例】 图2-25的螺栓，头部圆柱形的直径是20mm，问加工成六角后，最大的对边尺寸a₀（内切圆直径）是多大？

【解】 用式（2-35）进行计算：

d（a₀）=0，866D=0，866×20mm=17，32mm

【例】 M12六角螺母的对边尺寸a₀，按标准是22mm，问需用多大的圆料才能加工出来？

图2-24 正六边形

图2-25 六角螺栓

【解】 该题是求外接圆直径D，用式（2-36）进行计算：

D=1，155d=1，155×22mm=25，41mm(www.xing528.com)

实际工作中，计算正多边形还可以利用表2-6中的简便公式。

正多边形工件加工图样中，有时只说明外接圆直径D和对边尺寸a₀，在确定和计算加工量e和尺寸a₁（图2-23）时，用下面公式：

e=（D-a₀）/2 （2-37）

a₁=a₀+e （2-38）

为了工作方便，现将正四边形、正六边形、正八边形和正十边形各部尺寸列于表2-7中，供选用。

表2-6 计算正多边形简便公式和常数表

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表2-7 正多边形各部尺寸（单位：mm）

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3，正多边形内角和及内角角度α计算

从n边形的一个顶点向各顶点联对角线，可得出（n-2）个三角形。图2-26所示是五边形，则联成5-2=3个三角形。因为一个三角形的内角（边角）和是180°，所以n边形的内角和为：（n-2）×180°。如果是正n边形，各个内角都相等，于是得每个内角α是：

式中 α——正多边形内角角度数（°）；

n——正多边形边数或角数。

图2-26 正多边形内角计算

【例】 用角度规检验一个正五边形形状是否正确，问每个角的正确角度应该是多少？

【解】 用式（2-39）进行计算：

正多边形内角（边角）角度和中心角角度见表2-8。

4，正多边形（正n边形）面积计算

图2-27所示为正六边形工件，外接圆半径为R，这时，作半径OA和OB，OG⊥AB，。

图2-27 计算正六边形的面积

因

则 a₆=2Rsin30° （2-40）

S₆=6a₆=6R （2-41）

式中 a₆——正六边形边长（mm）；

R——正六边形外接圆半径（mm）；

S₆——正六边形周长（mm）；

r₆——正六边形内切圆半径（mm）；

A₆——正六边形面积（mm²）。

表2-8 正多边形内角角度和中心角角度

若用S_n表示正n边形的周长，正多边形（正n边形）的面积A_n为：

式中 S_n——正多边形周长（mm）；

r_n——正多边形内切圆半径（mm）。

在图2-28所示的正四边形（正方形）中，边长a=0，707D，外接圆直径D=1，414a，正四边形面积A₄为：

A₄=a² （2-45）

在图2-29所示的正三边形（等边三角形）中，边长a=1，155h=0，578h²，正三角形的高h=0，866a，这时，正三边形面积A₃为：

图2-28 正四边形

图2-29 正三边形

正多边形各部尺寸计算见表2-9。

表2-9 正多边形各部尺寸计算

（续）

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