串联谐振电路：实现信号选择的有效方法

串联谐振电路由电感线圈和电容器串联组成，其电路模型如图4-55所示：电感线圈等效成一个电阻和一个电感的串联，在正弦激励下，其复阻抗为

图4-55　串联谐振电路

1.谐振条件

如果要使电路发生谐振，即端口电压和端口电流同相，就需要其复阻抗的虚部为零，即，所以RLC串联电路的谐振条件为

2.固有频率

当电源角频率ω=ω0（或f=f0）时，电路发生串联谐振，得

式中　ω0——电路的固有角频率；

f0——电路的固有频率。

由式（4-69）可知，RLC组成的串联电路发生谐振的谐振频率ω0和f0仅取决于电路参数L和C，当L和C一定时，就有一个对应的谐振频率ω0和f0，这是电路本身的固有性质。对于RLC串联电路，只有当信号源（电源）的频率和电路的固有频率相等时，电路才会发生谐振。因此，在实际应用中，可以采用两种方法使电路发生谐振：一种是固定电路参数，改变信号源的频率f，使f=f0电路发生谐振；另一种是当信号源频率固定时，改变电路参数L或C，改变电路的固有频率，使f0=f电路满足谐振条件而发生谐振，这个过程称为调谐。

3.串联谐振的特性

（1）谐振阻抗、特性阻抗、品质因数。

谐振时，电抗X=0，故

为纯电阻，且阻抗最小。

感抗和容抗大小相等，把它们定义为电路的特性阻抗，用ρ表示，即

特性阻抗单位是Ω，是一个只与电路参数L、C有关而与频率无关的常量。在工程技术中，用谐振电路的特性阻抗ρ与电路电阻R的比值来表征谐振电路的性能，定义为谐振电路的品质因数，用字母Q表示，即

（2）谐振电流。

谐振时，电路中的电流为

若激励为电压源，在电压源有效值不变的前提下，谐振时，由于阻抗最小，则电流最大，且与外加电压源同相。

（3）谐振电压。

由于谐振时电流最大，根据欧姆定律，电阻电压值也达到最大，且等于电源电压。(www.xing528.com)

电感电压和电容电压大小相等，相位相反，如图4-56所示。

图4-56　串联谐振时电压与电流相量图

在实际电路中，Q值一般为50～200（Q≫1），所以串联谐振时，电感和电容上的电压有效值为电源电压的Q倍（UL0=UC0=QUS），所以，串联谐振常被称为电压谐振。电路谐振时在高Q值电路中，当电路发生谐振时，电感和电容上的电压可能会高出电源电压许多倍。特别对于电力系统来说，由于电源本身电压较高，如果电路在接近于串联谐振的情况下工作，在电感和电容两端将出现过电压，从而烧毁电气设备。所以，在电力系统中必须选择适当的L和C，以避免谐振的发生。

例4.22　如图4-55所示电路中，R=10Ω，L=50μH，C=200pF，求电路的谐振频率ω0、f0、特性阻抗ρ和品质因数Q；若电源电压US=1mV，试确定谐振电流I0、电容电压UC0和电感电压UL0。

解

练习：若C=100pF时，电路的谐振频率ω0、f0、特性阻抗ρ和品质因数Q将变为多少？

（4）串联谐振电路的频率特性。

电路的频率特性是指电路中的电压、电流和阻抗等各量随频率（角频率）的变化关系。对于RLC串联谐振电路，电流的频率特性为

电流的频率特性曲线也叫谐振曲线，如图4-57所示。由电流的谐振曲线分析可知，当f=f0时，回路中的电流最大，若f偏离f0时，电路中的电流将减小，偏离越远减小越多。这说明，串联谐振电路具有选择所需频率信号的能力，即可通过调谐选出f0点附近的信号，同时对远离f0点的信号给予抑制。这种能够选择谐振频率附近电流而抑制远离谐振频率的电流特性称为电路的选频特性，又称选择性。所以，在实际电路中常作为选频电路。同时，观察曲线可以看出，电路的品质因数Q值越大，谐振曲线越尖锐，电路的选择性越好；相反，若Q值小，则曲线越平坦，回路的选择性越差。电路的品质因数Q决定了电路的选择性能。为了使选择性好，选频电路是不是Q值越大越好呢？

图4-57　串联谐振电路的电流谐振曲线

一个实际的传输信号往往不是单一频率的信号，而是占有一定的频率范围，这个范围叫频带。例如，无线电调幅广播电台信号的频带宽度为9 kHz，调频广播电台信号的频带宽度为200 kHz。这就希望电路的谐振曲线不要太尖锐；否则，会把一部分需要的信号也抑制掉。因而要求电路允许一定频率范围的信号通过，这个一定的频率范围称为电路的通频带。

谐振电路的通频带是指当外加信号电压不变时，电路中的电流I不小于谐振电流I0的倍的频率范围，即当时对应的频率范围。通频带反映了一个电路的信号通过能力。

根据声学研究，如果信号功率不低于原有最大值的一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。

在图4-57中，频率从f1到f2的范围就是电路的通频带，通频带用BW表示。可以证明，电路的通频带为

电路的通频带BW与电路的品质因数Q成反比，品质因数Q越大，通频带BW越窄。

电路的选择性能和电路的信号通过能力这二者相互矛盾，在实际工作中必须根据需要适当选择BW与Q取值。

例4.23　求C=200pF的通频带。

解　据式（4-78），有

练习：若C=100pF时，通频带BW是多少？