RLC串联电路的分析方法

1.RLC串联电路的电压

RLC串联电路如图4-41所示。

图4-41　RLC串联电路

RLC串联电路和复阻抗

设各元件电压uR、uL、uC的参考方向均与电流的参考方向相关联，由KVL可知，串联电路的电压u与各元件电压的关系为

各电压相量间的关系为

其中：

以电流作为参考正弦量，那么电流的初相位为0°，即。这样可以画出RLC串联电路中电压和电流的相量图，如图4-42所示。图中，组成一个直角三角形，称为“电压三角形”，其中φ=φu-φi

由电压三角形可得

图4-42　RLC串联电路中电压和电流的相量图

（a）φ＞0电感性电路；（b）φ＜0电容性电路；（c）φ=0电阻性电路

（1）当XL＞XC，即UL＞UC，此时φ＞0，端口电压超前于电流，这时的电路性质呈电感性，如图4-42（a）所示。

（2）当XL＜XC，即UL＜UC，此时φ＜0，端口电压滞后于电流，这时的电路性质呈电容性，如图4-42（b）所示。

（3）当XL=XC，即UL=UC，此时φ=0，端口电压与电流同相，这时的电路性质呈电阻性，如图4-42（c）所示。

2.RLC串联电路电压与电流的关系

将各元件的电压与电流相量关系代入，得

式（4-45）为RLC串联电路电压与电流的相量关系式。

例4.14　RLC串联电路如图4-41所示，已知电阻R=75Ω，电感L=0.6H，电容C=2μF。外加电压，求电路中的电流i以及各元件上电压的有效值。

解　计算感抗和容抗

将电压u写成相量形式，即

据式（4-45），得电路的电流为

各元件上电压为

从本例的计算可以看出，当电路的感抗和容抗相对于电路的电阻较大时，会出现电感电压和电容电压的有效值大于电源电压有效值的情况。这是由于感抗和容抗相互补偿的结果，从图4-42所示的相量图中也可以清楚地看出这一点。由于UL＞UC，电路性质呈电感性。

练习：若L=0.4H，重新求电路中的电流i以及各元件上电压的有效值，并分析电路性质。

3.复阻抗与复导纳

1）复阻抗

在关联参考方向下，正弦稳态电路中任何一个无源二端网络的端口电压和端口电流相量的比值，定义为该无源二端网络的复阻抗Z，即

式（4-46）还可以看成欧姆定律的相量形式，即

显然，复阻抗Z是一个复数，单位是Ω。但它不是表示正弦量的复数，因而不是相量。复阻抗在电路图中有时用电阻的符号表示，如图4-43（a）所示。

图4-43　复阻抗的电路符号

（1）阻抗——复阻抗的模。

由式（4-47）知，复阻抗的模等于端口电压有效值与端口电流有效值的比值，即

的单位是Ω。

显然，当电压有效值一定时，复阻抗的模越大，电流I越小，即反映了电路对电流的阻碍作用，故称为阻抗。

（2）阻抗角φ——复阻抗的辐角。(www.xing528.com)

由式（4-47）知，复阻抗的辐角为电压超前电流的相位差，即

（3）阻抗三角形。

复阻抗的代数形式可写为

式中　R——电阻，Ω；

X——电抗，Ω。

根据式（4-47）中，可得

以及

R、X和之间的关系可以用一个“直角三角形”来表示，如图4-44所示，这个三角形称为阻抗三角形。

图4-44　阻抗三角形

显然，阻抗三角形和电压三角形是相似三角形。这两个三角形之间的关系即反映了复阻抗及其各元件电压和电流之间的相量关系。

RLC串联电路的复阻抗为

Z的实部就是电路的电阻R，Z的虚部X即电抗，为

Z的模值和辐角分别为

（4）任意个元件（不含独立源）或任意个复阻抗串联。

据式（4-46）可知单个元件的复阻抗分别为

RL串联，即

RC串联，即

LC串联，即

可见，串联电路的复阻抗等于电路各元件的复阻抗之和。若任意复阻抗串联，则

串联电路的复阻抗等于串联的各复阻抗之和。

2）复导纳

复阻抗的倒数叫做复导纳，用大写字母Y表示，即

单位是西门子（S），简称“西”，由于复阻抗是复数，因而复导纳也是复数，即

式中　G——电导，S；

B——电纳，S；

——导纳，S；

φ′——导纳角。

所以有

3）复阻抗与复导纳的关系

例4.15　电路的端电压，通过的电流，求电路的复阻抗Z、复导纳Y，并判定电路性质。

解　据式（4-46）得

据式（4-55）得

因为阻抗角φ=15°＞0，端口电压超前电流15°，所以，电路性质呈电感性。

练习：若，求电路的复阻抗Z、复导纳Y，并判定电路性质。