电阻连接方法及应用：串联与分压器

1.等效网络

电阻元件的连接

只有两个端钮与其他电路相连接的电路称为二端网络，也叫单口网络，如图1-25所示。若3个端钮与其他电路相连接的电路称为三端网络，以此类推。同时，外伸端子数不小于3的网络，称为多端网络。

二端网络端钮间的电压称为端口电压，流过端钮的电流称为端口电流。

二端网络内含有电源的称为有源二端网络，不含电源的称为无源二端网络。

当一个二端网络与另一个二端网络的端口电压和端口电流的伏安关系完全相同时，这两个二端网络在电路分析中对于外电路的作用是相同的，则称它们是等效网络。例如，二端网络A［图1-25（a）］和二端网络B［图1-25（b）］是等效网络；反之亦然。两个等效电路的内部可以完全不同，但对外电路而言，它们的作用完全相同，即等效是对外等效。

图1-25　等效网络

2.电阻的串联

1）串联形式

将多个电阻逐个顺次首尾相连，组成中间无分支的电路，这种连接方式称为电阻的串联，如图1-26所示。

图1-26　电阻的串联

2）串联特点

（1）在串联电路中，流过每个电阻的电流相同。

（2）电路两端的总电压等于各个电阻两端的分电压之和，串联电阻具有分压作用。

（3）电路的等效电阻R等于各个串联电阻之和。

根据欧姆定律，将U=IR、U1=IR1、U2=IR2、…、Un=IRn代入式（1-17），得

（4）电路中各个电阻两端的电压与它的阻值成正比。

根据欧姆定律：U=IR，U1=IR1，U2=IR2，…，Un=IRn

则

可得出，n个电阻串联的分压公式为

串联电路可以作为一个分压器，在电子技术中，使用分压器可以将输入的电压分成更多的不同数值的电压。收音机和电视机的音量控制就是分压器的应用。声音的响度取决于和音频信号相关电压的高低，因此，可以通过一个可调电位器（收音机上的音量控制旋钮）来增大或减小音量。

（5）等效电阻吸收的功率等于各个电阻上消耗的功率之和，且功率与阻值成正比。

根据P=UI=I2R，P1=U1I=I2R1，P2=U2I=I2R2，…，Pn=UnI=I2Rn

则

3.电阻的并联

1）并联形式

将两个或两个以上的电阻首与首相连、尾与尾相连，接在电路中两个节点之间，使每个电阻两端的电压都相等，这种连接方式称为电阻的并联，如图1-27所示。

图1-27　电阻的并联

2）并联特点

（1）在并联电路中，每个电阻的端电压相同。

（2）电路两端的总电流等于流过各个电阻的分电流之和，并联电阻具有分流作用。

（3）电路的等效电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和，即等效电阻的电导等于并联各个电阻的电导之和。

根据欧姆定律，将代入式（1-23）得

（4）电路中通过各支路的电流与支路的电阻成反比，与电导正比，即

两个电阻并联的分流和等效电阻R公式为

（5）电路的总功率等于各电阻上消耗的功率之和，且功率与电阻成反比。

根据，得

在电工技术中，电阻并联是经常用到的，如各种负载（电炉、电灯、电烙铁等）都是并联在电网上的。并联的等效电阻比其各个电阻中任何一个电阻都小，并联电阻数目越多，其等效电阻越小。负载增加是指并联电阻数目多了（如多并联了几盏灯），等效负载电阻减小，电源供给的电流和功率会同时增加。

例1.4　在电压、电流关联参考方向下，有3盏电灯并联，接在110 V电源上，其额定值分别为110 V、100 W；110 V、60 W；110 V、40 W。试求总功率P、总电流I、通过各灯泡的电流、等效电阻、各灯泡电阻。

解　① 因外接电源电压符合各个灯泡额定值，各灯泡正常发光，故总功率为

② 总电流与各灯泡电流为

③ 等效电阻与各个灯泡电阻为

此题可以按照题目要求的顺序解，也可以先求各电阻值，再求各灯泡电流等。读者可自行分析，以求对基本概念的熟练掌握。

4.电阻的混联

在实际电路中更会遇到的是许多电阻组合在一起，既有串联又有并联，这种电路称为混联电路。一般情况下，电阻混联电路组成的无源二端网络，总可分别将串联、并联部分用上述等效概念逐步化简，最后简化为一个等效电阻。凡是能用串并联办法逐步化简的电路，无论有多少电阻、结构有多么复杂，一般仍称为简单电路。

例1.5　用滑线变阻器接成的分压器如图1-28所示。已知电源电压US=9 V，负载电阻RL=30 Ω，滑线变阻器的总阻值为60 Ω。试计算变阻器的滑动触头滑至：① 变阻器中间位置；② 变阻器下端；③ 变阻器上端时，输出电压U2及变阻器两端电阻中的电流I1和I2。根据计算结果，变阻器的额定电流以多大为宜？(www.xing528.com)

图1-28　例1.5用图

解　本例R2和RL并联后与R1串联。

① 滑动触头滑至变阻器的中间位置时，变阻器两端电阻R1=R2=30 Ω并联部分的等效电阻为

输出电压为

变阻器两段中的电流分别为

② 滑动触头滑至变阻器下端时，R1=60 Ω，R2=0 Ω，负载RL被短路，并联部分的等效电阻为

输出电压为

负载电流为

变阻器两段中的电流分别为

③ 滑动触头滑至变阻器上端时，R1=0 Ω，R2=60 Ω，并联部分的等效电阻为

输出电压为

负载电流为

变阻器两段中的电流分别为

滑动触头接近上端时，变阻器上段电阻中通过的电流接近0.45 A，故变阻器的额定电流不得小于0.45 A；否则，上端电阻丝有被烧断的可能。

但实际电路中的节点受某些因素的制约，往往并非只是一个连接点，而是分散在各处但用导线连接起来的若干个连接点。图1-29（a）所示的电路就是这样的例子。遇到这种情况，电路中各元件的连接关系不一定能一目了然，因而使计算无从下手。为弄清电路的结构，可以采取对节点逐一编号的方法。如果这样还不能看清电路的结构，可以进一步把电路图整理成规范的形式，把编号相同的各连接点集中画成一个节点。整理电路时，对连接导线可以任意进行伸长、缩短（至一个点）、拉直、弯曲等处理；各支路在电路图中的位置也可以任意调整，只要它两端连接点的编号没有变化，其位置的调整就是允许的。最后，对于整理好的电路图，如图1-29（b）所示，需要检查各电阻的两个标号和原图是否相同。经过整理以后的电路，并没有改变原来的结构，只是使电路中各元件的连接关系能看得更清楚，便于计算。

图1-29（a）所示为无源二端网络。第一步：先将每个电阻标在两个标号之间，注意有两个“c”点，这是因为它们之间是导线连接，必须标相同的标号；第二步：从标号“a”出发，经过R1和R2都到达“c”点，因此两个电阻的末端相连接在一起；接着从标号“c”开始，经过R6到达标号“b”，经过R3和R4连接在标号“e”，再经过R5也到达标号“b”。即把图1-29（a）调整成图1-29（b）和图1-29（c），则各电阻的串并联关系便非常明显了。

图1-29　电路图的整理

于是有

【特别提示】

导线上各点是等电位点，标号必须相同。如图1-29中的c点所示。

5.电阻三角形与星形连接的等效变换

问题：电路如图1-30（a）所示，试计算a、b端的等效电阻Rab。

从图1-30（a）中可以看出，电路中的所有电阻，既没有串联的也没有并联的。因此，用电阻的串、并联公式无法计算其等效电阻。

图1-30　Y形和Δ形电阻网络等效互换举例

1）电阻的Y形连接和Δ形连接

图1-31（a）中R1、R2、R3这3个电阻的一端连接在一起，剩余一端分别与外电路相连，见图1-31（a）中的端钮1、2和3。这种连接方式称为Y形连接，也称T形连接。

图1-31（b）中R12、R23、R31这3个电阻依次连接成一个闭合回路，然后3个连接点再分别与外电路相连，见图1-31（b）中的端钮1、2和3。这种连接方式称为Δ形连接，也称Ⅱ形连接。

2）Y形和Δ形电阻网络等效互换

在图1-30（a）中，虚线框中的R1、R2、R3这3个电阻Y形连接，如能用图1-30（b）所示三角形（Δ形）连接的R12、R23、R31代替原虚线连接的Y形连接，变为图1-30（c）后，便可以用串、并联方法化简为一个等效电阻，即

图1-31　电阻的Y形连接和Δ形连接

（a）星形连接；（b）三角形连接

因此，如果Y形和Δ形电阻网络等效互换，依图1-31（a）就能确定其等效电阻Rab。

Y形和Δ形电阻网络是三端网络，它们通过3个端钮与外电路相连。在保证Y形和Δ形网络对应端钮间的电压和电流关系完全相同情况下，二者为等效网络。根据这个道理，分别写出Y形和Δ形电阻网络各对端钮的伏安关系，并令它们对应一致，可以推导出Y形和Δ形电阻网络等效互换的公式（本书不做推导）。

（1）Y→Δ变换。将星形变换为三角形，变换规则是：三角形网络中的每个电阻等于星形网络中所有可能的两个电阻乘积之和，再除以相对的星形网络的电阻，即

若R1=R2=R3=RY，则等效Δ形电阻网络中的3个电阻也相等，且均为

（2）Δ→Y变换。将三角形变换为星形，变换规则是：星形网络中的每个电阻等于三角形网络中两个相邻支路电阻的乘积，再除以三角形网络中的3个电阻之和，即

若R12=R23=R31=RΔ，则等效Y形电阻网络中的3个电阻也相等，且均为

例1.6　如图1-32（a）所示电路，已知R1=2 Ω，R2=6 Ω，R3=2 Ω，R4=2 Ω，R5=6 Ω，US=3.3 V，计算电流I。

图1-32　例1.6用图

解　计算电流I，首先要计算电路总的等效电阻。电阻R1、R2、R3这3个电阻为Y形连接，标注端钮为1、2、3，如图1-32（b）所示，将电阻Y转换为Δ，如图1-32（c）所示。

（1）今有额定值为110 V、60 W与110 V、100 W的两只灯泡串联在220 V电源上，求各自实际承受的电压、消耗的功率，问能否这样使用？

（2）有R1=10 Ω，R2=20 Ω，R3=5 Ω，问3只电阻能配成几种电阻值？

（3）求图1-33（a）所示电路中I1、I2、I3、I4和图1-33（a）～（c）两端钮的等效电阻Rab。

图1-33　电路