传播临界值理论：解析和应用

上述复杂网络传播模型中都包括模型参数（如感染率v、治愈率δ和免疫率α）。以SIS模型为例，理论研究发现，存在传播率临界值λc，当λ＞λc时，疾病传播以后将长期以一定密度存在；而当λ＜λc时，流行病最终会自动从网络中消除。因此，临界值对于把握网络传播的趋势具有重要意义。

假设t时刻受到感染的节点密度为ρ（t），当t→∞时，被感染节点的稳态密度为ρ，需要满足3个条件：

（1）度分布均匀：网络的度数分布在平均值＜k＞处取最大，而偏离平均度数时，概率快速减少。即认为网络节点的度ki几乎相同。

（2）混合均匀：即感染强度和密度ρ（t）呈现正相关。

（3）小时间跨度：个体在SIR不同状态之间转换的时间长度相对于个体的生命周期而言可以忽略不计。

在上述条件下，Pastor等人提出了ρ（t）的微分方程［87］：

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在等式的右侧，第1项是I状态的网络节点以某速度恢复，第2项指I状态的节点感染新节点的平均密度，它与λ、节点平均度数＜k＞以及（1-ρ（t））有关。当t→∞时ρ趋于稳定，上式左右边等于零，从而得到稳态密度ρ的计算表达式［87］：

其中，传播临界值等式表示，存在传播临界值λc，当传播率λ大于临界值的时候，由于病毒扩散，最终网络节点感染密度可以达到一种稳定状态；若传播率λ小于该临界值，则感染节点数量迅速减少，不能在网络上形成扩散效应，网络传染病从网络中被消除。因此，λc是一个非常重要的参数，最终网络的稳定状态就决定于λc，如下图所示。这说明，网络的平均度数越大，即节点连接越多，则λc越小，临界点和曲线左移，网络越容易进入激活相态（被感染状态）。反之，如果连接数较少，最终流行病会从网络中清除。这从理论上说明了网络隔离对于降低疾病传播的重要性。

图3.3　均匀网络的SIS模型相位图

Pastor等人还研究了无标度网络的传播临界值问题［87］，得到了临界值计算公式当网络节点规模N→∞时，符合幂律分布，并且2＜γ≤3的无标度网络＜k 2＞→∞时，λc→0［79］。这说明在无标度网络中，病毒不会自动清除，而是维持在某个稳定状态。这说明无标度复杂网络抵抗风险传播的能力偏低。值得说明的是，现实中很多无标度网络λ值很小（λ≤1），因此稳态的网络感染虽然不能消除，但节点密度ρ也趋近于0，最终可以达到一个比较低的传播程度。