探究经典传播模型的理论与实践应用

流行病传播过程非常复杂，最终状态表现差别也很大，人对有些疾病具备终生免疫能力，感染一次后不再患病，而对一些疾病则完全缺乏免疫能力，容易被反复感染，对一些疾病虽有免疫力，但免疫期过后又会被感染，还有些疾病不仅有一定的感染率，还有一定的潜伏期。总之，流行病的传播机理非常复杂，难以用一种固定的传播模型全部包括各种情形［85］。尽管如此，在众多的流行病传播模型中，有3种传播模型非常经典，即SI模型、SIS模型和SIR模型。这里的SIR是指流行病感染前后的几种状态：S——健康易感染（Susceptible）、I——感染状态（Infected）和R——免疫状态（Removed，Recovered）。

（1）SI模型

SI模型是流行病传播动力学模型中最简单最基础的模型。每个节点都只有易染状态S（或称未感染状态）与感染状态I两种状态。易感染节点被传染而变成感染状态的概率跟他接触感染者的程度成正比，并假设是一个常数。已感染者又可以变成疾病传播源，并以某种概率λ将传染病传给易感人群。

定义I（t）、S（t）为t时刻网络中分别处于感染状态和易感染状态的节点数，N为节点总数。s（t）＝S（t）/N、i（t）＝I（t）/N分别表示网络中处于S状态和I状态的节点比例（密度），且有s（t）+i（t）＝1。SI模型的感染机制可以表示为S（i）传播动力学可用以下方程组描述：

流行病传播初期经常采用SI模型来描述其扩散规律，分析流行病随时间变化的情况。

（2）SIS模型

和SI模型类似，SIS模型也将人群划分为易感人群（S）和染病人群（I）。易感人群被感染疾病以后，将出现两种可能：（1）被治愈成为S类人群；（2）成为传染源将疾病传播给其他人群。染病人群自身有一定概率δ可以被治愈。SIS模型的感染机制可表示为：S用s（t）、i（t）分别表示网络节点在时刻t处于S状态和I状态的比例，其传播动力学可以用下列微分方程组描述：(www.xing528.com)

令此方程中存在一个阈值λc，当λ＜λc时其稳定状态解为i（T）＝0，表示最后网络中流行病的传播得以消除。而当λ＞λc时，存在某个定态角i（T）＞0，这里T为达到稳定态的时间。该模型描述了S状态个体变成I状态以后，又恢复为健康未感染状态的过程。故将这种网络节点从易染状态（S）转变为感染状态（I）而后又变成易染状态（S）的过程模型称为SIS疾病传播模型。假设节点度数为k的节点占比是p k，Θ（λ）表示某个体相邻节点为S状态的概率，S状态的个体在单位时间内被处于I状态的节点传染的概率用λ表示，Θ（λ）可以通过以下方程求解［86］：

（3）SIR模型

不同于SIS模型，SIR传播模型中的节点可以是三种状态之一：易感染、感染和免疫。免疫是被治愈后不会再感染也不会将疾病传给他人，即不会再对网络动力学行为产生影响。该模型中，染病人群出现的两种状态是染病状态和免疫状态（即以概率α转变为免疫人群，不会再受到感染）。其状态转移情况为易感→感染→免疫，动力学方程为：s（t）、i（t）、r（t）分别表示易感染态、受感染态和免疫态的网络节点密度。

SIR传播模型的微分方程表达式如下：

此上可知，流行病传播动力学模型有助于认识、预测流行病传播规律，进而更有效地预防和控制流行病的传播。