如何计算载荷不均匀系数？

1.载荷不均匀系数的计算

（1）静态载荷不均匀系数的计算

1）图18-10为两级内外啮合的星形齿轮传动简图。图18-11为两级内外啮合星形齿轮传动静力学计算模型图。经分析太阳轮和第i个星轮间的齿面载荷F_api以及第i个星轮和内齿圈间的齿面载荷F_pir可用下式表示：

F_api=kap（rbaθ_a-r_bp1θ_pi-Δ_api）（18-22）

F_pir=k_pr（r_bp2θ_p2-Δ_pir）（18-23）

式中 k_ap、k_pr——太阳轮和星轮之间的轮齿啮合刚度以及星轮和内齿圈之间的轮齿啮合刚度；

r_ba、r_bp1、r_bp2——太阳轮、第一级星轮与第二级星轮的基圆半径；

θ_a、θ_pi、θ_p2——各啮合副和支承的弹性变形所引起的第一级太阳轮、第i个星轮轴以及第二级星轮轴的自转角；

Δ_api、Δ_pir——太阳轮与第i个星轮以及第i个星轮与内齿圈的综合啮合误差。

图18-11 两级内外啮合星形传动静力学计算模型

a）第一级传动的坐标系 b）第二级传动的坐标系

太阳轮的静力平衡方程：

星轮轴的静力平衡方程：

F_apir_bp1-F_pirr_bp2=0（18-25）

考虑到太阳轮等基本浮动构件的浮动引起的静力平衡得

式中 T——输入轴转矩；

A_i——太阳轮与第i个星轮啮合线的方位角；

B_i——第i星轮与内齿圈啮合线的方位角；

k_a、k_p1、k_p2、k_r——太阳轮、第一级星轮、第二级星轮和内齿圈支承处的等效弹簧刚度；

x_a、x_p1i、x_p2i、x_r——太阳轮、第一级第i个星轮、第二级第i个星轮、内齿圈沿x方向的位移；

y_a、y_p1i、y_p2i、y_r——太阳轮、第一级第i个星轮、第二级第i个星轮、内齿圈沿y方向的位移；

式（18-22）～式（18-23）构成一个方程组，其中各个刚度可由相关力学公式求出，综合啮合误差也可由相关公式求出，输入转矩及几何参数为已知，求解该方程组就可求出各星轮的齿面载荷F_api与F_pir。

第一级传动中第i（i=1，2，…，n_p）个星轮的载荷不均匀系数为

则第一级传动的载荷不均匀系数

K₁=（K_p1i）_max（18-35）

第二级传动中第i（i=1，2，…，n_p）个星轮的载荷不均匀系数为

由式（18-25）可知，K_p2i=K_p1i，则第二级传动的载荷不均匀系数K₂=K₁，系统的载荷不均匀系数：

K_p=K₁=K₂（18-37）

2）图18-12为两级外啮合星形齿轮传动简图。图18-13为两级外啮合星形齿轮传动静力学计算模型图。也同样可分别计算出第一级与第二级传动中的载荷不均匀系数。计算式基本上与两级内外啮合星形齿轮传动相同，仅将上述公式中第i个星轮与第二级内齿圈啮合线的方位角改为第i个星轮与第二级太阳轮（外齿轮）啮合线的方位角。

图18-12 两级外啮合星形齿轮传动简图

图18-13 两级外啮合星形齿轮传动静力学计算模型

a）第一级传动的坐标系 b）第二级传动的坐标系

系统的载荷不均匀系数：

（2）动态载荷不均匀系数的计算

1）图18-14为两级内外啮合星形齿轮传动动力学计算模型。它由第一级太阳轮z_a与N_p个星轮z_p1传动系统和第二级n_p个星轮z_p2与内齿圈z_r传动系统组成。输入功率经太阳轮z_a分流给第一级n_p个星轮z_p1，又经第二级n_p个星轮z_p2汇流到内齿圈z_r输出。将星形齿轮各构件作为刚体，太阳轮和内齿圈为基本浮动构件。啮合副、回转副及支承处的弹性变形用等效弹簧刚度表示。星轮z_p1和内齿圈因体积较大，为减轻质量，采用薄辐板结构，有较大的扭转柔度，因此可将齿轮的质量分别集中在齿圈和轮毂上，中间以扭转弹簧相连。

图18-14 两级内外啮合星形齿轮传动动力学计算模型（n_P为星轮转速）

令F_api和F_rpi分别为第一级传动和第二级传动第i条啮合线上的动载荷，则

F_api=k_api（x_a-x_p1i-Δ_ai-e_api）（18-39）

F_rpi=k_rpi（x_r-x_p2i-Δ_ri-e_rpi）（18^-40）

式中k_api、k_rpi——太阳轮与星轮之间和星轮与内齿圈之间的啮合刚度；

x_a、x_r——太阳轮和内齿圈沿啮合线的微位移；

x_p1i、x_p2i——第一级与第二级第i星轮沿啮合线的微位移；

Δ_ai、Δ_ri——基本构件浮动引起的侧隙改变量；

e_api、e_rpi——各误差在第一级、第二级啮合线上产生的当量累积啮合误差。

令D_api和D_rpi分别为第一级传动和第二级传动第i条啮合线上的啮合振动阻尼力，则

式中 C_api、C_rpi——第一级传动与第二级传动的阻尼系数。

系统的运动微分方程为

式中m_a、——太阳轮的当量质量与太阳轮质量，m_a=J_a/r²_ba；

m_p1j、m_p2j——第一级与第二级星轮的当量质量，m_p1j=Jp1j/r²bp1，m_p2j=J_p2j/r_bp2；

m_r、——内齿圈的当量质量与内齿圈质量，m_r=J_r/r²_br；

m_qj——第一级星轮轮毂的当量质量，m_qj=J_qj/r²_bpi；

m_o——内齿圈轮毂的当量质量，m_o=J_o/r²_bo；

k_Hp、k_Hr——第一级星轮z_p1和内齿圈轮辐的扭转刚度在第一级和第二级啮合线上的当量值；

k_s、k_or——星轮连接轴和内齿圈连接轴的扭转刚度；

k_s1、k_s2——连接轴扭转刚度k_s在第一级和第二级啮合线上的当量值，k_s1=k_s/r²_bp1，k_s2=k_s/r²_bp2；

k_o——k_or在第二级啮合线上的当量值，；

k_r——内齿圈的支承刚度；

i₁₂、i₂₁——基圆半径比，，；(www.xing528.com)

J——转动惯量；

H_a、V_a、H_r、V_r——太阳轮及内齿圈中心在x、y方向的浮动位移量；

r_b——基圆半径。

系统方程组式（18-43）用矩阵形式表达为

用傅里叶方法解得系统的时域与频域响应，将式（18-44）定常化，并略去二阶小量得

从求解上述微分方程的矩阵表达式中可得出系统响应，代入式（18-39）、式（18-40）可求得系统的动载荷F_api和F_rpi，从而得动载系数为

G_api=np（F_api）_max/F_in（18-47）

G_rpi=n_p（F_rpi）_max/F_o（i=1，2，…，n_p）（18-48）

式中 G_api、G_rpi——第一级和第二级传动中各啮合线上的动载系数；

（F_api）_max、（F_rpi）_max——F_api、F_rpi在一个系统周期中的最大值；

F_in——太阳轮上的法向驱动力，F_in=T/r_ba；

F_o——内齿圈上的法向力，。

每一齿频周期中的载荷不均匀系数：

式中b_apij、b_rpij——第一级与第二级传动中每个齿频周期的载荷不均匀系数；

n₁、n₂——系统周期中第一级与第二级传动的齿频周期数；

n_p——星轮个数。

系统的载荷不均匀系数：

K_api=（b_apij）_max

（i=1，2，…，n_p；j=1，2，…，n₁）（18-51）

K_rpi=（b_rpij）_max

（i=1，2，…，n_p；j=1，2，…，n₂）（18-52）

2）图18-15为两级外啮合星形齿轮传动动力学计算模型。计算载荷不均匀系数与前一种模型有着基本相同的假定，都是齿轮构件浮动，不同之处在于第二级为星轮与太阳轮的啮合，因而在第二级太阳轮及其轴承偏心误差计算公式中输出角频率前面应加“-”号。另外第二级啮合线的方位角有所不同。

图18-15 两级外啮合星形齿轮传动动力学计算模型

a）第一级传动的坐标系 b）第二级传动的坐标系

与前一种计算模型相同，通过求解系统的运动微分方程，可求得系统的动载荷和，从而求出系统的载荷不均匀系数。每一齿频周期中的载荷不均匀系数：

（i=1，2，…，np；j=1，2，…，n₂）（18-54）

系统的载荷不均匀系数：

符号同上。

2.计算与实测比较

（1）计算结果 某星形齿轮减速器的传动简图如图18-16所示，减速器的齿轮参数见表18-1。

图18-16 某减速器传动示意图

表18-1 减速器齿轮参数

计算出各种加载状态下星形齿轮系的静态载荷不均匀系数，列于表18-2。

计算出各种加载状态下星形齿轮系的动态载荷不均匀系数，列于表18-3。

表18-2 各种加载状态下星形齿轮系的静态载荷不均匀系数

（2）实测结果 为了与计算结果进行比较，采用实测的实物与计算的一致，用两种方法进行实测：应变测试法与轴向力测试法。

1）应变测试法。在3个中间双齿轮的端面及对应的辐板上贴上应变片，测出其应变值，按应变评定法处理试验数据，得出在静态试验情况下星形齿轮系的载荷不均匀系数见表18-4。

表18-3 各种加载状态下星形齿轮系的动态载荷不均匀系数

表18-4 静态试验应变测量数据处理结果

在动态试验情况下，星形齿轮系的载荷不均匀系数见表18-5。

表18-5 动态试验应变测量数据处理结果

2）轴向力测试法。由于星形齿轮传动的高速级为斜齿轮传动，必有轴向分力，可采用测试轴向力的方法来判断各星轮间载荷分配的不均匀程度。用精密力传感器测得各星轮轴的轴向力，按轴向力评定法处理试验数据，得出静态加载情况下星形齿轮系的载荷不均匀系数，见表18-6。

表18-6 静态试验轴向力测量数据处理结果

在动态试验情况下，星形齿轮系的载荷不均匀系数见表18-7。

（3）试验与计算结果的比较 在静态条件下，星形齿轮系载荷不均匀系数的计算值与试验值比较见表18-8。

表18-7 动态试验轴向力测量数据处理结果

表18-8 在静态条件下星形齿轮系载荷不均匀系数的计算值与试验值比较

在动态条件下，星形齿轮系载荷不均匀系数的计算值与试验值比较见表18-9。

由于计算值是在理想状态下的理论值，而试验值是在加工、装配等一系列误差因素的影响下测得的，同时还存在着测试系统的误差，所以试验值与计算值之间存在着一定的差异可以理解。

表18-9 在动态条件下星形齿轮系载荷不均匀系数的计算值与试验值比较

综合理论分析与试验研究，对于星形齿轮传动，采用太阳轮（或内齿圈）浮动的载荷不均匀系数范围可取为K_p=1.1～1.15。

星形齿轮传动实际上是一种定轴轮系传动，除计算载荷时必须要考虑载荷不均匀系数外，其零部件的强度计算与定轴轮系相同，可参照定轴轮系的强度计算。