密切圆：行星传动装置齿廓的优良近似替代方案

为了避免较为复杂的齿廓曲线的加工，在不影响啮合精度的条件下，可采用其他近似的容易加工的齿廓曲线来替代。密切圆是一种较好的近似齿廓。它与活齿的包络曲线的误差微小，并且采用半圆齿廓，去掉凸啮合部分线段，降低了总的诱导曲率，有利于提高承载能力。

（1）滚子活齿包络曲线 在求包络曲线时，假定输出滚子架固定，当输入轴转过θ角时，内齿圈仅转过θ角。由图12-10可知：

ρ=ecosθ₁+（r₂-e）cosφ（12-11）

活齿在O_zx₁y₁坐标系中的圆方程

x²₁+y²₁=r²_z

进行坐标平移，得

式中 ρ——活齿中心O_z离O₂的距离；

u——活齿数与内齿圈齿数之比，即。

将上式代入圆方程得

图12-10 滚子活齿包络曲线

现求滚子活齿的包络，将式（12-13）对θ₁角偏导，并经整理得

设

式中

现将式（12-18）中化简。由式（12-11）对θ₁偏导得

由式（12-10）对θ₁偏导，经整理得

又因为

将上两式一起代入式（12-19）得

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再将上式代入式（12-18）得

将式（12-17）代入式（12-16）得

从而解得

将以上X、Y代回式（12-15）得

这就是总体坐标系中的包络线方程。由于滚子活齿行星传动装置需要外包络曲线，所以取滚子活齿包络曲线方程为

（2）包络曲线的密切圆 由于滚子活齿包络曲线在制造上也具有一定的困难，可采用密切圆来替代包络曲线。

1）密切圆圆心。设过包络线及滚子中心的连线方程为

y=Kx+b（12-25）

由于在O_zx₁y₁坐标系中，滚子中心点坐标为x₁=0，y₁=0，因此可利用式（12-12）得到滚子中心点在O₂xy坐标系中的坐标式

将上式代入式（12-25）得

b=ρcos（1-u）θ₁-Kρsin（1-u）θ₁（12-27）

由式（12-27）、式（12-24）和式（12-25），可解得

由式（12-28）、式（12-27）及式（12-25），可得

为了避免加工干涉，须使齿廓中心在y坐标轴上，因此密切圆的中心点坐标为

2）密切圆方程。通过作图分析，当传动参数选择恰当，滚子活齿圆的轨迹有密集的汇交中心，密切圆半径趋近于滚子直径。调整参数r_z与e可使汇交点中心落在y坐标轴上，因此密切圆关系式可写成

（y-b）2+x²=（2r_z）2

将式（12-24）与式（12-30）代入上式，可得滚子半径