实际电路中有三种参数:电阻、电感和电容。严格来说,只包含单一参数的理想电路元件是不存在的,但当一个实际元件中只有一个参数起主要作用时,可以近似地把它看成单一参数的理想电路元件。实际电路可能比较复杂,但一般来说,除电源外,其余部分都可以用单一参数电路元件组成电路模型。本节将导出这三种基本元件电压与电流之间关系的相量形式。
1.电阻电路
(1)电压电流关系
图1-29 电阻元件的交流电路
图1-29a是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定,在u、i参考方向一致时,两者的关系为
u=Ri
设电流为参考正弦量,即
i=Imsinωt (1-20)
则
u=Ri=RImsinωt=Umsinωt( 1-21)
由式(1-20)和式(1-21)可见,u、i为同频率的正弦量,可作出u、i的波形图和相量图如图1-29b、c所示。
比较式(1-20)和式(1-21)可知,电压u和电流i有如下大小和相位关系:u、i的相位差ϕ=ϕu-ϕi=0,即电阻元件上电压和电流同相。
u、i的幅值关系为
Um=RIm
u、i的有效值关系为
U=RI
电压电流的上述关系也可用相量形式表示。若电流相量为=I∠ϕi,由于u、i同相,则ϕu=ϕi,而电压有效值U=RI,所以压相量为
式(1-22)就是电阻元件电压电流相量关系式。由于电阻R为常数,式(1-22)既表明相量、的ϕu=ϕi,即电压和电流同相位;又通过两边的模相等U=RI表明了它们的有效值大小关系,体现了相量形式的欧姆定律。
(2)功率
电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率,用小写字母p表示。它等于该瞬时电压u和电流i的乘积。电阻电路所吸收的瞬时功率为
P=ui=UmImsin2ωt=UI(1-cos2ωt)
由此可见,电阻从电源吸收的瞬时功率是由两部分组成的:第一部分是恒定值UI;第二部分是幅值为UI,并以2ω的角频率随时间变化的交变量UIcos2ωt。
如图1-30所示,从曲线可以看出,电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于等于零的,即电阻是耗能元件。
图1-30 电阻元件的功率 变化曲线
2.电感电路
(1)电压电流关系
电感电路如图1-31a所示。
在关联参考方向下,电感元件的电压电流关系为
若设电流i为参考正弦量,即
i=Imsinωt (1-23)
图1-31 电感元件的交流电路
由式(1-23)、(1-24)可见,电压、电流同频率,其波形图和相量图如图1-31b、c所示。比较这两个式子,可知电压u和电流i有如下大小和相位关系:
u、i的相位差为
ϕ=ϕu-ϕi=90°
即电感元件上电流i比电压u滞后90°。
u、i的幅值关系为Um=ωLIm。
u、i的有效值关系为U=ωLI=XLI。
XL称为感抗,单位为欧姆(Ω),且XL=ωL=2πfL。
上式表明,同一个电感线圈其电感值为定值,它对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗,频率越高,感抗越大。因此,电感元件对高频电流有较大的阻碍作用。在极端情况下f=0,则XL=0,因此电感在直流电下相当于短路线;当f→∞时,XL→∞,即通入交流电的频率越高,电感所呈现的感抗越大。
u、i的相量关系如下:若电流相量为,根据前面的关系式可得电压相量为
式(1-25)既表明了u、i的相位关系,又表明了u、i的有效值关系,是欧姆定律对电感元件的相量表示形式。
(2)功率
电感电路所吸收的瞬时功率为
p=ui=Umsin(ωt+90°)×Imsinωt=UIsin2ωt
由此可见,电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为UI、以2ω的角频率随时间变化的正弦量。(www.xing528.com)
电感元件的功率变化曲线如图1-32所示。从功率曲线可以看出,曲线所包围的正、负面积相等,故平均功率(有功功率)为
图1-32 电感元件的功率
这就说明纯电感元件不消耗有功功率,但是电感与电源之间存在着能量交换。在第一个1/4周期内,随着电感中电流的增长,磁场建立,电感从电源中吸取能量,且此时电压、电流方向一致,所以p大于0,这一过程电感将电能转换为磁场能;在第二个1/4周期内,电感中电流减小,磁场逐渐消失,此时电感将储存的能量释放出来反馈给电源,且电压、电流方向相反,所以p小于0,这一过程电感将磁场能转换为电能;
在第三个1/4周期内,电感又有一个储能过程;在第四个1/4周期内,电感又有一个放能过程。电感中的能量转换就这样交替进行,在一个周期内吸收和放出的能量相等,因而平均值为零。这一事实说明,电感不消耗能量,是一种储能元件,它在电路中起着能量的“吞吐”作用。
电感虽然不消耗功率,但与电源之间有能量的交换,电源要给电感提供电流,而实际电源的额定电流是有限的,所以电感元件对电源来说仍是一种负载,它要占用电源设备的容量。
电感与电源之间功率交换的最大值用QL表示,有
式(1-26)与电阻电路中的P=UI=RI2=U2/R在形式上相似且有相同的量纲,但在本质上是有区别的。P是电路中消耗的功率,称为有功功率,其单位是W;而QL只反映电感中能量互换的速率,不是消耗的功率,为了与有功功率区别,称之为无功功率,单位是乏(var)。
【例1-8】已知一个电感线圈,电感L=0.5H,电阻可略去不计,接在50Hz、220V的电源上,试求:①该电感的感抗XL;②电路中的电流I及其与电压的相位差ϕ;③电感占用的无功功率QL。
解:①感抗为XL=2πfL=(2π×50×0.5)Ω=157Ω
②选电压为参考相量,即=220∠0°V,则
即电流的有效值I=1.4A,相位滞后于电压90°。
③无功功率为
3.电容电路
(1)电压电流关系
电容元件的交流电路如图1-33a所示。
在关联参考方向下,电容元件的电压电流关系为
图1-33 电容元件的交流电路
在图1-33a所示电路中,设电压为参考正弦量,即
由此可知,通过电容的电流i与它的端电压u是同频率的正弦量,两者的波形图与相量图分别如图1-33b、c所示。比较式(1-27)和式(1-28)可知,电压u和电流i有如下大小和相位关系:
u、i的相位差为ϕ=ϕu-ϕi=-90°
即电容元件上电流比电压超前90°。
u、i的幅值关系为
u、i的有效值关系为
式中XC———容抗(Ω),且
式(1-29)表明,对一定容量的电容,通入不同频率的交流电时,电容会表现出不同的容抗,频率越高,容抗越小。在极端情况下,若f→∞,则XC→0,此时电容可视为短路;若f=0(直流),则XC=∞,此时电容可视为开路;这说明了电容元件的“隔直通交”作用。
u、i的相量关系如下:
由式(1-28)和式(1-29)可知,
这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式,它既表达了纯电容元件电压电流有效值之间的关系,又表达了它们的相位关系(ϕu-ϕi=-90°)。
(2)电容电路中的功率
电容电路所吸收的瞬时功率为
p=ui=Umsinωt×Imsin(ωt+90°)=UIsin2ωt (1-30)
图1-34 电容元件的功 率瞬时值曲线
功率瞬时值曲线如图1-34所示。
由式(1-30)可知,电容从电源吸取的瞬时功率是幅值为UI并以角频率2ω随时间变化的正弦量,其曲线如图1-34所示。从功率曲线可以看出其平均功率仍为0,这说明电容不消耗有功功率,但电容与电源之间仍存在着能量交换。在第一个1/4周期内,随着电容中端电压增长,电场逐渐增强,电容从电源吸取能量,此时p>0,这一过程中电容将电能转换为电场能(充电);在第二个1/4周期内,电容将储存的能量释放出来反馈给电源,此时p<0,这一过程电容释放能量(放电);在第三个1/4周期内,电容反方向充电;在第四个1/4周期内,电容反方向放电。在一个周期内充放电能量相等,平均值为零。这一事实说明,电容不消耗能量,但可储存能量,是一个储能元件,在电路中也起着能量的“吞吐”作用。
与电感相似,电容与电源功率交换的最大值也称为无功功率,用QC表示,有
综上所述,电容电路中电压与电源的关系可由欧姆定律来表示,电容不消耗功率,其占用的无功功率是QC=UI=I2XC=U2/XC。
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