单一参数电路元件在交流电路中的应用

实际电路中有三种参数：电阻、电感和电容。严格来说，只包含单一参数的理想电路元件是不存在的，但当一个实际元件中只有一个参数起主要作用时，可以近似地把它看成单一参数的理想电路元件。实际电路可能比较复杂，但一般来说，除电源外，其余部分都可以用单一参数电路元件组成电路模型。本节将导出这三种基本元件电压与电流之间关系的相量形式。

1.电阻电路

（1）电压电流关系

图1-29 电阻元件的交流电路

图1-29a是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定，在u、i参考方向一致时，两者的关系为

u=Ri

设电流为参考正弦量，即

i=I_msinωt （1-20）

则

u=Ri=RI_msinωt=U_msinωt（ 1-21）

由式（1-20）和式（1-21）可见，u、i为同频率的正弦量，可作出u、i的波形图和相量图如图1-29b、c所示。

比较式（1-20）和式（1-21）可知，电压u和电流i有如下大小和相位关系：u、i的相位差ϕ=ϕ_u-ϕ_i=0，即电阻元件上电压和电流同相。

u、i的幅值关系为

U_m=RI_m

u、i的有效值关系为

U=RI

电压电流的上述关系也可用相量形式表示。若电流相量为=I∠ϕ_i，由于u、i同相，则ϕ_u=ϕ_i，而电压有效值U=RI，所以压相量为

式（1-22）就是电阻元件电压电流相量关系式。由于电阻R为常数，式（1-22）既表明相量、的ϕ_u=ϕ_i，即电压和电流同相位；又通过两边的模相等U=RI表明了它们的有效值大小关系，体现了相量形式的欧姆定律。

（2）功率

电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，用小写字母p表示。它等于该瞬时电压u和电流i的乘积。电阻电路所吸收的瞬时功率为

P=ui=U_mI_msin2ωt=UI（1-cos2ωt）

由此可见，电阻从电源吸收的瞬时功率是由两部分组成的：第一部分是恒定值UI；第二部分是幅值为UI，并以2ω的角频率随时间变化的交变量UIcos2ωt。

如图1-30所示，从曲线可以看出，电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于等于零的，即电阻是耗能元件。

图1-30 电阻元件的功率 变化曲线

2.电感电路

（1）电压电流关系

电感电路如图1-31a所示。

在关联参考方向下，电感元件的电压电流关系为

若设电流i为参考正弦量，即

i=I_msinωt （1-23）

图1-31 电感元件的交流电路

由式（1-23）、（1-24）可见，电压、电流同频率，其波形图和相量图如图1-31b、c所示。比较这两个式子，可知电压u和电流i有如下大小和相位关系：

u、i的相位差为

ϕ=ϕ_u-ϕ_i=90°

即电感元件上电流i比电压u滞后90°。

u、i的幅值关系为U_m=ωLI_m。

u、i的有效值关系为U=ωLI=X_LI。

X_L称为感抗，单位为欧姆（Ω），且X_L=ωL=2πfL。

上式表明，同一个电感线圈其电感值为定值，它对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗，频率越高，感抗越大。因此，电感元件对高频电流有较大的阻碍作用。在极端情况下f=0，则X_L=0，因此电感在直流电下相当于短路线；当f→∞时，X_L→∞，即通入交流电的频率越高，电感所呈现的感抗越大。

u、i的相量关系如下：若电流相量为，根据前面的关系式可得电压相量为

式（1-25）既表明了u、i的相位关系，又表明了u、i的有效值关系，是欧姆定律对电感元件的相量表示形式。

（2）功率

电感电路所吸收的瞬时功率为

p=ui=U_msin（ωt+90°）×I_msinωt=UIsin2ωt

由此可见，电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为UI、以2ω的角频率随时间变化的正弦量。(www.xing528.com)

电感元件的功率变化曲线如图1-32所示。从功率曲线可以看出，曲线所包围的正、负面积相等，故平均功率（有功功率）为

图1-32 电感元件的功率

这就说明纯电感元件不消耗有功功率，但是电感与电源之间存在着能量交换。在第一个1/4周期内，随着电感中电流的增长，磁场建立，电感从电源中吸取能量，且此时电压、电流方向一致，所以p大于0，这一过程电感将电能转换为磁场能；在第二个1/4周期内，电感中电流减小，磁场逐渐消失，此时电感将储存的能量释放出来反馈给电源，且电压、电流方向相反，所以p小于0，这一过程电感将磁场能转换为电能；

在第三个1/4周期内，电感又有一个储能过程；在第四个1/4周期内，电感又有一个放能过程。电感中的能量转换就这样交替进行，在一个周期内吸收和放出的能量相等，因而平均值为零。这一事实说明，电感不消耗能量，是一种储能元件，它在电路中起着能量的“吞吐”作用。

电感虽然不消耗功率，但与电源之间有能量的交换，电源要给电感提供电流，而实际电源的额定电流是有限的，所以电感元件对电源来说仍是一种负载，它要占用电源设备的容量。

电感与电源之间功率交换的最大值用Q_L表示，有

式（1-26）与电阻电路中的P=UI=RI²=U²/R在形式上相似且有相同的量纲，但在本质上是有区别的。P是电路中消耗的功率，称为有功功率，其单位是W；而Q_L只反映电感中能量互换的速率，不是消耗的功率，为了与有功功率区别，称之为无功功率，单位是乏（var）。

【例1-8】已知一个电感线圈，电感L=0.5H，电阻可略去不计，接在50Hz、220V的电源上，试求：①该电感的感抗X_L；②电路中的电流I及其与电压的相位差ϕ；③电感占用的无功功率Q_L。

解：①感抗为X_L=2πfL=（2π×50×0.5）Ω=157Ω

②选电压为参考相量，即=220∠0°V，则

即电流的有效值I=1.4A，相位滞后于电压90°。

③无功功率为

3.电容电路

（1）电压电流关系

电容元件的交流电路如图1-33a所示。

在关联参考方向下，电容元件的电压电流关系为

图1-33 电容元件的交流电路

在图1-33a所示电路中，设电压为参考正弦量，即

由此可知，通过电容的电流i与它的端电压u是同频率的正弦量，两者的波形图与相量图分别如图1-33b、c所示。比较式（1-27）和式（1-28）可知，电压u和电流i有如下大小和相位关系：

u、i的相位差为ϕ=ϕ_u-ϕ_i=-90°

即电容元件上电流比电压超前90°。

u、i的幅值关系为

u、i的有效值关系为

式中X_C———容抗（Ω），且

式（1-29）表明，对一定容量的电容，通入不同频率的交流电时，电容会表现出不同的容抗，频率越高，容抗越小。在极端情况下，若f→∞，则X_C→0，此时电容可视为短路；若f=0（直流），则X_C=∞，此时电容可视为开路；这说明了电容元件的“隔直通交”作用。

u、i的相量关系如下：

由式（1-28）和式（1-29）可知，

这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式，它既表达了纯电容元件电压电流有效值之间的关系，又表达了它们的相位关系（ϕ_u-ϕ_i=-90°）。

（2）电容电路中的功率

电容电路所吸收的瞬时功率为

p=ui=U_msinωt×I_msin（ωt+90°）=UIsin2ωt （1-30）

图1-34 电容元件的功 率瞬时值曲线

功率瞬时值曲线如图1-34所示。

由式（1-30）可知，电容从电源吸取的瞬时功率是幅值为UI并以角频率2ω随时间变化的正弦量，其曲线如图1-34所示。从功率曲线可以看出其平均功率仍为0，这说明电容不消耗有功功率，但电容与电源之间仍存在着能量交换。在第一个1/4周期内，随着电容中端电压增长，电场逐渐增强，电容从电源吸取能量，此时p>0，这一过程中电容将电能转换为电场能（充电）；在第二个1/4周期内，电容将储存的能量释放出来反馈给电源，此时p<0，这一过程电容释放能量（放电）；在第三个1/4周期内，电容反方向充电；在第四个1/4周期内，电容反方向放电。在一个周期内充放电能量相等，平均值为零。这一事实说明，电容不消耗能量，但可储存能量，是一个储能元件，在电路中也起着能量的“吞吐”作用。

与电感相似，电容与电源功率交换的最大值也称为无功功率，用Q_C表示，有

综上所述，电容电路中电压与电源的关系可由欧姆定律来表示，电容不消耗功率，其占用的无功功率是Q_C=UI=I²X_C=U²/X_C。