等高排架内力计算方法

作用在排架上的荷载种类很多，究竟在哪些荷载作用下哪个截面的内力最不利，很难一下判断出来。但是，我们可以把排架所受的荷载分解成单项荷载，先计算单项荷载作用下排架柱的截面内力，然后再把单项荷载作用下的计算结果综合起来，通过内力组合确定控制截面的最不利内力，以其作为设计依据。

单层厂房排架为超静定结构，它的超静定次数等于它的跨数。等高排架是指各柱的柱顶标高相等，或柱顶标高虽不相等，但在任意荷载作用下各柱柱顶侧移相等。由结构力学知道，等高排架不论跨数多少，由于等高排架柱顶水平位移全部相等的特点，可用比位移法更为简捷的“剪力分配法”来计算。这样超静定排架的内力计算问题就转变为静定悬臂柱在已知柱顶剪力和外荷载作用下的内力计算。任意荷载作用下等高排架的内力计算，需要首先求解单阶超静定柱在各种荷载作用下的柱顶反力。因此，下面先讨论单阶超静定柱的计算问题。

作用在对称排架上的荷载可分为对称和非对称两类，它们的内力计算方法有所不同，现分述如下。

1.对称荷载作用

对称排架在对称荷载作用下，排架柱顶无侧移，排架简化为下端固定，上端不动铰的单阶变截面柱，如图4.32（a）所示。这是一次超静定结构，用力法（或其他方法）求出支座反力后，便可按竖向悬臂构件求得各个截面的内力。

图4.32　单阶一次超静定柱分析

如在变截面处作用一力矩M时，设柱顶反力为R，取基本体系如图4.32（b）所示，由力法方程可得

即

式中：δ 为悬臂柱在柱顶单位水平力作用下柱顶处的侧移值，因其主要与柱的形状有关，故称为形常数；ΔP为悬臂柱在荷载作用下柱顶处的侧移值，因与荷载有关，故称为载常数。

由式（4.11）可见，柱顶不动铰支座反力R等于柱顶处的载常数除以该处的形常数。

令

由图4.32（c）、（d）、（e），根据结构力学中的图乘法可得

将式（4.12）代入式（4.11），得

式中　C0——单阶变截面柱的柱顶位移系数，按下式计算：

　　　CM——单阶变截面柱在变阶处集中力矩作用下的柱顶反力系数，按下式计算：

按照上述方法，可得到单阶变截面柱在各种荷载作用下的柱顶反力系数。表4.7列出了单阶变截面柱的柱顶位移系数C0及在各种荷载作用下的柱顶反力系数Cl～C11，供设计计算时查用。

表4.7　单阶变截面柱的柱顶位移系数C0及在各种荷载作用下的柱顶反力系数Cl～C11

续表

注：表中n=Iu/Il，λ=Hu/H，1-λ=Hl/H。

单跨厂房的屋盖恒荷载是对称荷载。屋面活荷载是非对称荷载。为了简化计算，对于单跨厂房的排架可按对称荷载计算，即可不考虑活荷载在半跨范围内的布置情况，由此引起的计算误差很小。

2.非对称荷载作用

作用在单跨排架上的非对称荷载有风荷载、吊车竖向荷载和吊车横向水平荷载。在非对称荷载作用下，无论结构是否对称，排架顶端均产生位移，此时可用材料力学中的力法等进行计算。对于等高排架，用剪力分配法计算是很方便的。

1）柱顶水平集中力作用下的内力分析

如图4.33所示，在柱顶水平集中力F作用下，等高排架各柱顶将产生侧移动。由于假定横梁为无轴向变形的刚性连杆，故有下列变形条件：

图4.33　柱顶水平集中力作用下的等高排架内力分析

若沿横梁与柱的连接处将各柱的柱顶切开，则在各柱顶的切口上作用有一对相应的剪力Vi，如图4.33（a）所示。如取出横梁为脱离体，则有下列平衡条件：

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此外，如图4.33（b）所示，根据形常数 δi的物理意义，可得下列物理条件：

求解联立方程（4.16）和（4.17），并利用式（4.18），可得

式中：l/δi为第i根排架柱的抗侧移刚度（或抗剪刚度），即悬臂柱柱顶产生单位侧移所需施加的水平力；ηi为第i根排架柱的剪力分配系数，按下式计算：

显然，剪力分配系数ηi与各柱的抗剪刚度l/δi成正比，抗剪刚度l/δi愈大，剪力分配系数也愈大，分配到的剪力也愈大。

按式（4.19）求得柱顶剪力Vi后，用平衡条件可得排架柱各截面的弯矩和剪力。由式（4.20）可见：①当排架结构柱顶作用水平集中力F时，各柱的剪力按其抗剪刚度与各柱抗剪刚度总和的比例关系进行分配，故称为剪力分配法；②剪力分配系数满足∑ηi=1；③各柱的柱顶剪力Vi仅与F的大小有关，而与其作用在排架左侧或右侧柱顶处的位置无关，但F的作用位置对横梁内力有影响。

2）任意荷载作用下的等高排架内力分析

为了利用剪力分配法来求解这一问题，对任意荷载作用，必须把计算过程分为3个步骤：第一步先假想在排架柱顶增设不动铰支座，由于不动铰支座的存在，排架将不产生柱顶水平侧移，而在不动铰支座中产生水平反力R，如图4.34（b）所示。由于实际上并没有不动铰支座，因此，第二步必须撤除不动铰支座，换言之，即加一个和R数值相等而方向相反的水平集中力于排架柱顶，如图4.34（c）所示，以使排架恢复到实际情况，这时排架就转换成柱顶受水平集中力作用的情况，即可利用剪力分配法来计算。最后，将上面两步的计算结果进行叠加，即可求得排架的实际内力。

排架具体的实际内力分析如下：

（1）对承受任意荷载作用的排架，如图4.34（a）所示，先在排架柱顶部附加一个不动铰支座以阻止其侧移，则各柱为单阶一次超静定柱，如图4.34（b）所示。

图4.34　任意荷载作用下等高排架内力分析

应用柱顶反力系数可求得各柱反力Ri及相应的柱端剪力，柱顶假想的不动铰支座总反力为：

在图4.34（b）中，R＝R1+R3，因为R2为零。

（2）撤除假想的附加不动铰支座，将支座总反力R反向作用于排架柱顶，如图4.34（c）所示，应用剪力分配法可求出柱顶水平力R作用下各柱顶剪力ηiR。

（3）将图4.34（b）、（c）的计算结果相叠加，可得到在任意荷载作用下排架柱顶剪力

按图4.34（d）可求出各柱的内力。

（4）按悬臂构件求柱各截面的内力。

【例4.3】　已知有一榀二跨等高排架（图4.35），风荷载设计值Fw＝11.77kN，q1＝3.46kN/m，q2＝1.74kN/m。A与C柱相同，I1A＝I1C＝2.13×109mm4，I2A＝I2C＝8.75×109mm4，B柱I1B＝7.2×109mm4，I2B＝8.75×109mm4，上柱高均为H1＝3.3m，柱总高均为H＝11.75m。试用剪力分配法计算排架内力，并绘出各柱弯矩图。

【解】　（1）计算剪力分配系数。

图4.35　等高排架计算简图

查表4.7得A、C柱C0＝2.81，B柱C0＝2.99。

因各柱总高及下柱高皆相同，故

（2）计算各柱顶剪力。

由于q1、q2的作用，由表4.7得：

柱顶剪力：

（3）绘制弯矩图（图4.36）。

图4.36　等高排架弯矩图

从计算结果可以看出：①在风荷载作用下，柱底弯矩值最大。所以，风荷载在单层厂房排架结构内力分析中是一种主要荷载。②在风荷载作用下，直接受载的排架柱的弯矩图为一曲线；非直接受载的排架柱的弯矩图为一直线。排架内力按柱的抗剪刚度分配，刚度较大的柱所分配到的内力较多。③在计算过程中，应随时对柱顶剪力或柱底剪力与荷载的关系进行复核，以免出错。同时，还应注意柱底剪力的方向问题。柱的弯矩图应画在柱受拉的一侧。