计算模态振型的方法

确定系统极点之后，需要计算模态振型，这一步必须要包括所有测点的FRF。若不包括所有测点的FRF，则计算不出相应测点的振型值。如果某个测点没有计算振型值，那么在振型动画中该测点即为不动点，但又不是节点。对于软件操作而言，计算模态振型只需要单击一下鼠标，模态分析软件就能完成振型计算。在此，笔者扩展一下振型计算相关的理论，使你明白为什么振型可以任意缩放，以及软件是如何确定振型的。

我们知道留数直接与系统模态振型相关，留数等于输入-输出位置的振型值与比例因子的乘积，即

A_k=q_ku_ku^T_k

其展开式为

我们不会采集所有的输入-输出组合（理论也告诉我们，不需要测量所有的输入输出组合）。如果我们测量了第一列，那么上式可以写为

从上面的公式可以看出，对于第k阶模态而言，由于q_k和u_1k都是数值确定的公因子，因此，模态振型正比例于留数，如果能确定前面这两个公因子的值，那么这阶模态振型就确定了。对于这阶模态任一位置的留数而言，有

a_ijk=q_ku_iku_jk(www.xing528.com)

上式中的留数大小通过曲线拟合得到，但方程右边的三项就无法完全确定了。在这个方程中有三个未知量，即右边的三个，故而无法直接求解。但是如果有驱动点的数据，那么上面的方程将转变为

a_iik=q_ku_iku_ik

此时，方程中只有两个未知数，如果假设比例因子q_k=1（实际上是模态a矩阵归一法），那么振型u_1k的值也就随之确定了，即

其他测点的振型值等于

至此，假设比例因子q_k=1时，这阶模态的振型值就完全确定了。而系统的模态参数，模态质量、模态阻尼和模态刚度分别由下式求得：

当然也有其他的比例换算方法，如模态质量归一化法，则是m_k=1，然后根据上面的关系求出模态振型。