如何确定系统极点？

通过5.6什么是极点一节，我们已经明显极点是系统的全局属性，可选择一条、几条或全部FRF数据来确定系统极点。由于最终的结果是所选择的FRF的最小二乘估计结果，因此最终得到的极点信息与单条FRF相比较，会存在明显的差异。

确定系统极点通常是通过稳态图获得，如图5-49所示。因而，在确定系统极点时，有两个关键的因素需要确定：一是Modal size多大合适；二是选择极点时，选择哪个位置的s更合适。在描述这个问题之前，让我们先回顾一下频响函数基本方程：

图5-49 稳态图

在这个方程中，中间是分析频带内的模态，但实际上在分析频带之外还存在上、下残余项。

所谓的Modal size，从字面上理解为模态规模，实际上是参与拟合的多项式的多少，也就是图5-49中右侧的最大数字。一阶模态对应一个多项式（就是一阶频响函数，即上式括号内的多项式），因为这个方程每多包含这么一项，就表明多一项参与拟合，一阶模态会有相对应的一项存在。因此，这个Modal size就是用于确定拟合的多项式的数量。在有限的分析频带内，结构的模态阶数是一定的，为了不丢失真正关心的模态，上面这个方程应该包含我们关心或者是在这个频段内所有的真正的模态。假设在分析频带内有10阶模态，那么用于拟合的方程式应该包含这10阶模态，也就是形如上式中间项的多项式有10项，刚好是这10阶模态所对应的多项式。但是，如果刚好只有这10阶模态对应的多项式，那么会给模态分析带来截断误差。因此，有必要在这个方程中包含更多的多项式。类似于多项式拟合，如果关心三次方的函数，可能在多项式中会出现4次和5次项，再高的项也许可以忽略，因为对结果影响不大。同理，模态拟合也是如此。因此，模态分析时，分析频带内的多项式除了要有真正的那些模态所对应的多项式外，还要包含更多的多项式。这样一来，既保证了包含分析频带内真正的模态，又能使稳态图中的s列持续出现，便于分析人员确定极点。(www.xing528.com)

另一方面，如果Modal size过高，即参与拟合的多项式太多，会导致在非物理极点处出现明显的持续s列，这是分析人员不希望看到的。因此，通常确定Modal size为分析频带内模态阶数的3～6倍。例如，分析频带内有10阶模态，Modalsize可设置为30～60。当然，这只是一般性原则，有些情况下，如用硬锤头激励结构，能量偏向于中高频，在Modal size满足上述一般性要求时，可能在低频极点处不会出现任何s字母用于确定该极点，此时，可能提取不到这些低频模态，这种情况下可以将Modal size设高一些，这将有助于确定这些低频极点。

还有一个问题，在s列什么位置确定系统极点更合适。首先，让我们来看一个例子，如图5-50所示为某结构的前2阶模态，当选择不同的s位置（选择Modal size大还是小）时，可以看出极点信息是有明显偏差的。第1阶模态选择s的位置靠下与靠上频率相差了0.515Hz，阻尼比相差了0.11%。第2阶模态频率相差了0.134Hz，阻尼比相差了0.02%。那么到底选择哪个位置的s作为确定系统极点更合适呢？

图5-50 确定系统极点

相对而言，可能这些差值对于模态频率而言是很小的，在一定程度上选择哪个位置的s来确定极点都是可接受的。但是，严格意义上二者还是有区别的，区别在于Modal size的影响。靠近下端的s位置说明Modal size较小，而靠近上端的s位置则说明Modal size较大。因此，选择不同位置的s，实际上代表了参与拟合的多项式的多少。Modal size越大参与拟合的多项式越多，得到的结果越稳定。因而，Modal size太高了可能导致在非物理极点的位置也会出现明显的s列，这是不希望出现的。因此，从严格的数学意义上讲，选择s的位置应该是极点出现稳定，而Modal size又不大的位置，也就是靠近下端的s位置。这说明使用很小的Modal size，极点就趋于稳定了，所以应该选择这样的s位置来确定系统极点。