自由边界与约束边界的区别详解

对于一个真正的自由-自由系统而言，意味着这个系统与大地没有任何约束，它完全自由地悬浮在空中。但在现实世界中，不可能使系统完全悬浮在空中，因此，需要使用某种机制来实现自由边界。目前，用于模拟自由边界的方法主要有：橡皮绳悬挂（但要求橡皮绳足够长、足够柔）、海绵垫支承、气囊支承、橡胶垫支承、空气弹簧支承、软弹性支承或悬挂等。国外有人甚至用棉花糖或马桶吸盘来支承待测结构用于模拟自由边界条件，如图4-36所示。图4-36a中白色物体为棉花糖，图4-36b中黑色物体为马桶吸盘。

对于约束边界条件，又可能分为两类，一类是结构处于实际的装配状态，另一类是通过夹具实现约束边界。

自由边界和约束边界对于模态分析而言，最大的区别在于是否具有刚体模态。刚体只有刚体模态，但弹性体既有刚体模态，又有弹性模态。在有限元分析中，对于自由边界条件而言，计算出来的前6个模态即为刚体模态，这6个模态频率为0或者值很小，从第7阶模态开始才是结构的弹性模态。

现实世界中的试验，没有真正的自由边界条件，因此，需要通过一些柔性支承来模拟自由边界条件。这时，结构和柔性支承组成的系统存在刚体模态。由于支承刚度不为0，因此，系统的刚体模态频率不为0，可能是几赫兹，或者更大，视柔性支承的刚度而定。

在这通过一个实例来说明自由边界与约束边界的区别。考虑一根等截面，质量均匀分布的梁。首先，让我们来描述这根平面梁的前几阶模态。图4-37所示为梁的前四阶模态，注意到前两阶模态是刚体模态，后两阶模态是系统的弹性模态（1弯和2弯）。注意到第1阶模态是上下运动的沉浮刚体模态，第2阶模态是围绕梁几何中心的转动刚体模态。这些是自由梁结构的自由-自由模态。

图4-36 自由边界支承方式

a）棉花糖支承 b）马桶吸盘支承

图4-37 自由-自由模态(www.xing528.com)

由于考虑到梁不能悬浮在空间不受约束，所以在梁两端使用弹簧支承。我们让弹簧刚度范围从接近零的状态上升到刚度非常大的状态，甚至接近完全约束状态，这个示意过程如图4-38所示。

现在我们仅考虑第1阶模态随梁端部弹簧刚度的增加的变化。考虑随着弹簧刚度的增加，梁的这阶模态将发生怎样的变化。图4-39所示为梁的这阶模态振型的变化过程，从顶部到底部弹簧刚度逐渐增加。

第1个振型图是自由状态的第1阶刚体模态振型。当我们增加梁端部的弹簧刚度时，梁的固有频率将向上移动（因为刚度增加了），这与我们的预期一样。如果刚度稍微增大，模态振型可能变化不那么明显。我们注意到第二个振型图中的振型仍然与刚体模态很相似，但是已经有了轻微的弯曲。随着刚度的增加，注意到第三个振型图看起来不像完美的刚体模态了，振型的弯曲程度更大，更像系统的第1阶弹性模态。等到再增大刚度，第四和第五个振型图已经完全不再像刚体模态了，此时，模态振型本质上真的像弹性模态，但还是带有少许刚体运动。直至刚度无限增大，模态振型完全成为弹性模态（第五个振型）。此时，梁的边界条件也转变为完全固支的约束边界。

从上面可以看出，有些情况下，结构虽然受约束，但是是弹性约束，结构与约束件之间还存在相对位移，这时，系统也会存在刚体模态，如动力总成刚体模态就属于这种情况。

因此，自由边界和约束边界的最大区别在于：自由边界不仅有刚体模态，还有弹性模态；完全固支的约束边界只有弹性模态。很多时候，由于结构的振动噪声产生的根源都与弹性模态相关，因此，人们经常忽略刚体模态。

图4-38 梁的弹性支承

图4-39 1阶模态振型的演变