如何计算信号的RMS？

FFT变换各种计算中，经常会计算信号的RMS，如Overall Level计算、阶次计算和声压级计算等。以及在评价隔振装置的隔振效果时，对于稳态工况使用RMS进行计算；对于加速工况，使用Overall Level进行计算。这时，你可能会问，怎么得到RMS？由于信号处理中多处要计算RMS，所以，将本节内容放在本章的前面。下面，将介绍怎么从时域和频域计算信号的RMS。

RMS，也称为有效值，是信号的平方根，用于表征信号中能量的大小。

对于从时域上计算RMS，应计算时间序列所有幅值的平方和，然后再除以总的样本点数目，最后再取平方根。计算公式如下：

在这里k+1表示计算区间的总样本点数。对于幅值为A的正弦波而言，其RMS为A/2。

如果我们从频域上计算RMS，是不会出现除法运算的。对于频域而言，由于信号的频谱形式有多种，而常用的自（功率）谱又有线性和平方形式。线性自功率谱是自功率谱的平方根形式。而频谱的格式又有峰值和RMS的形式。如求图3-22中f₁～f₂频率区间的RMS，这时的RMS也称为窄带RMS。

如果图3-22中的频谱形式为线性自功率谱（AutoPower Linear）或频谱（Spectrum），其格式为RMS，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

如果幅值格式是Peak形式，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

图3-22 求f₁～f₂频率区间的RMS

如果图3-22中的频谱形式为自功率谱（AutoPower），其格式为RMS，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

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如果幅值格式是Peak形式，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

如果图3-22中的频谱形式为功率谱密度PSD，其格式为RMS，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

如果幅值格式是Peak形式，则f₁～f₂频率区间的RMS计算公式为

如果计算整个频率区间的RMS，则称为Overall Level，也就是说Overall Level是整个带宽内的RMS。RMS的另一个应用是阶次切片。对于阶次切片而言，也是计算相应频带内的RMS，只是此时对应的频率宽度为阶次宽度内的RMS。关于这一点，请见3.7.4小节。

另一方面，如果按以上公式计算，某些情况下，可能与商业软件计算得到的RMS有差异。产生差异的具体原因在于，以上计算公式没有考虑窗函数的影响。如果不加窗或加矩形窗，是没有差异的，但当对信号应用别的类型的窗函数时，则二者会产生差异。

各种窗函数都会有自身的特征，不同的窗函数差别主要在于集中于主瓣的能量和分散在所有旁瓣的能量的比例。窗的选择取决于分析的目标和被分析信号的类型。加窗会改变信号的原有属性，因此，需要对加窗后的信号进行修正，通过修正因子使加窗后的信号恢复到与原信号有相同的幅值或能量。所以，修正分为幅值修正和能量修正。由于是计算RMS，属于能量范畴，因此，只考虑能量修正。在加汉宁窗情况下，加窗后信号的能量仅为原信号能量的61%。因此，加窗后的数据需要倍乘1.63，以校正能量的大小。补偿加窗所需的校正因子，取决于校正类型和加窗的次数，常见的窗函数的校正因子见表3-1。

表3-1 窗函数的校正因子

因此，如果直接使用上面的公式进行计算是没有考虑能量修正的。以加一次汉宁窗为例，按上面公式计算得到的RMS还除以2（幅值修正因子），再乘以1.63（能量修正因子），这才是加汉宁窗之后的RMS。