理解灰色关联分析技术的应用

灰色关联分析(Grey Relational Analysis,GRA)是一种来源于灰色系统理论的方案评价方法。其核心思想是将数据序列的几何关系与参考曲线进行相似程度分析,曲线间的相似程度越大,则证明关联度越大。

灰色关联分析整体由4个步骤组成:构建评价矩阵、灰色关联生成、灰色关联系数计算和灰色关联度计算。第一步构建的评价矩阵是由每一个备选方案在不同评价指标下的评价值构成,是进行后续评价的数据基础。第二步灰色关联生成是将不同极性(极大型、极小型、适中型)指标下的评价值统一处理成相同极性、可以互相比较的序列,处理后的矩阵称为决策矩阵。第三步是在决策矩阵的基础上,设定最优参考序列,计算各备选方案在每一项评价指标下的评价值相较于最优参考值的灰色关联系数。第四步根据灰色关联系数以及指标权重,计算各方案总体的灰色关联度,排序选优,得到最优方案。

各步骤具体的计算过程阐述如下。

1.构建评价矩阵

设评价系统有m个备选方案,n个评价指标,则评价矩阵可表示为

式中,xij表示第i个备选方案第j个评价指标的评价值。

2.灰色关联生成

由于评价指标具有不同的单位和数量级,如果不对指标矩阵进行处理,是无法进行比较的。因此,在得到指标矩阵后,首先要对其进行等极化处理及归一化处理。等极化处理的目的是将具有不同极性的评价指标全部转换为极大型。评价指标的极性代表了备选方案在此评价指标下的得分值与其代表的优劣程度之间的关系,分为极大型、极小型和适中型三种类型。若得分值越大代表备选方案的表现越优,则该评价指标为极大型指标;若得分值越小代表备选方案的表现越优,则该评价指标为极小型指标;若得分值越趋于居中代表备选方案的表现越优,则该评价指标为适中型指标。归一化处理则是将所有得分值转化为[0,1]内的数值,以便于后续的灰色关联系数计算。等极化处理与归一化处理统称为灰色关联生成。对于极大型指标,其等极化处理公式为

对于极小型指标,其等极化处理公式为

对于适中型指标,其等极化处理公式为

式中,A为适中值,一般可用序列平均值代替。经过等极化处理后的矩阵为等极化矩阵:

随后对等极化指标进行归一化处理,公式为(www.xing528.com)

经过灰色关联生成后得到的矩阵称为决策矩阵:

3.灰色关联系数计算

灰色关联分析的核心思想是将数据序列的几何关系与参考曲线进行相似程度分析,曲线间的相似程度越大,则证明关联度越大。经过灰色关联生成后,所有评价值均处于[0,1]之间,并且越大越优,可以相互比较,因此,将最优参考序列U0定为(1,1,…,1),即U0=(u01,u02,…,u0n)=(1,1,…,1),则灰色关联系数的本质就是要计算各备选方案在各项评价指标下的评价值与最优参考值1之间的距离。计算灰色关联系数时,首先要计算差值矩阵Δ,计算公式为

随后在差值矩阵Δ中找出Δmax和Δmin:

则uij与u0j之间的灰色关联系数可由如下公式计算:

式中,ρ为分辨系数,其作用是扩展或压缩灰色关联系数的范围,通常取ρ=0.5。

4.灰色关联度计算

计算了全部灰色关联系数后,每个方案的灰色关联度可通过如下公式计算得出:

式中,wj代表各评价指标的权重,评价人员可依据需要为评价指标赋予不同的权重。

经过以上各步骤计算后,最终会得到每个备选方案的灰色关联度结果数值,数值越大,则证明该方案越优。因此,设计人员可对最终的关联度结果值进行排序,从中选择数值最大的备选方案作为最优方案。