相似三定理：物理现象的相似性及其客观准则

1.相似定理

对人为构造的模型进行试验获得的现象跟实际中出现的现象满足某些客观准则，同时拥有一定程度的相似性。相似原理具有一些特定的要求，如模型必须满足其几何外观、材料特性以及受力性能等都跟工程的原型保持相似。若要达到这些要求，实际工程原型与模型两者之间的所有物理参数与力学参数都应该满足某个固定的比例，即所谓的相似比。李仲奎等^[176]提出的相似原理包括了表述相似这种特性的3条较为通用的结论，称之为的相似三定理。

图7-1 地质力学模型试验的一般流程

（1）相似第一定理 如果物理现象相似，则原型与模型一定得满足相同的客观准则，即这两者之间的相似指标必须为1。原型与模型所对应的位置的相似模数（包括相似不变量、相似准则和相似判据）必须具有相同的数值。如果准则可以使用函数表达式描述，那么物理表达式要百分百的一致，同时相应的相似准则其数值也肯定相同。

（2）相似第二定理 该定理亦被称为π定理，其定义为：假如模型与原型间出现相近的情况，那么判断公式也一致。即在全部相似的情况中，模型的各相似指标与原型是一致的。通过它可把方程变成无单位量之间的表达式。

（3）相似第三定理 即逆定理，它是用于表述相似现象之间的充要条件。这个充要条件出现在几何相似系统内部，物理过程可以使用共同的方程描述，在模型与原型的对应点处不仅是单值量模数而且还有其他全部的相似模数在内的数值相等。

2.模型试验相似条件

当人工制作模型与工程原型相似时，用模型模拟工程原型特征时所应用的一个特定的比例关系。

（1）相似比 相似比可被定义为原型和模型之间所拥有一致量纲的物理量之比，可用字母C表示。定义如下：

为几何相似比

为应变相似比

为应力相似比

为位移相似比

为内摩擦角相似比

为弹性模量相似比

为重度的相似比

为摩擦系数相似比

为泊松比相似比

为体积力相似比

为边界面力相似比

为时间比。

式中 L——长度；

δ——位移；(www.xing528.com)

ε——应变；

σ——应力；

σ^c——抗压强度；

t——时间；

γ——重度；

σ^t——抗拉强度；

φ——内摩擦角；

ν——泊松比；

f——摩擦系数；

X——边界面力；

X——体积力。

（2）相似关系的建立 张强勇等[177，178]结合模型以及原型的几何方程、平衡方程、物理方程、位移边界条件以及应力边界条件建立地质力学模型试验的相似关系。

由几何方程建立的相似条件，即

利用平衡方程建立的相似条件，即

利用物理方程建立的相似条件，即

模型试验规定一切无量纲物理量（如内摩擦角、应变、泊松比、摩擦系数等）对应的相似比为1，即

C_ε=C_f=C_φ=C_μ=1 （7-4）

在工程实际中，研究围岩在恒荷载长时间的作用下出现的现象，必须考虑时间因素。关于时间的相似条件，即