CAD模拟裂纹扩展引起的变形分析

根据对图3-1正长岩脆性岩石的全应力-应变曲线的分析，可以知道在整个脆性岩石的峰前变形过程中，其变形量主要包括：弹性变形和由于裂纹张开引起的变形。在低应力水平下的裂纹的闭合主要引起轴向的变形，侧向变形相对较小；高应力状态下的变形受到劈裂裂纹张开的影响较大，此时从全应力-应变曲线上可以知道，轴向的应变曲线不受到劈裂裂纹的影响，但是侧向应变曲线受到劈裂裂纹的作用非常明显。

现定义体积应变为ε_V，轴向应变为ε_a，侧向应变为ε_l。因此体积应变为：ε_V=ε_a+2ε_l。

裂纹引起的张开应变为ε_lc=ε_V-ε_ev-ε_ac=2（ε_l-ε_le）。其中ε_ac是裂纹引起的轴向应变，可由式（3-20）或者应力-应变试验曲线获得；ε_ev为总弹性体积应变；ε_le为侧向弹性应变。

当应力水平达到图3-1的B点，裂纹体积应变ε_lc曲线开始偏移，代表岩石剪胀的发生。同时也可以利用ε_lc与ΔV的比值表征不同的应力阶段的裂纹密度，即Π=ε_lc/ε_V或者Γ=ε_lc/ε_le。

下面将应用能量分析的方法来获得裂纹引起的侧向应变ε_lc，其理论依据为Lajtai等^[165]，通过它可以获得裂纹张开的位移等于应变能对作用在裂纹载荷各个应力方向的偏导数，即。

1.应变能解法Ⅰ1）ΔU_e可由式（3-19）获得，即，其中：；。

2）裂纹引起的轴向应变为

其中：τ^∗=τ-μσ_n；α=sin2θ-μ（1-cos2θ）；裂纹的密度，c0为初始裂纹的长度；N

其中：β=sin2θ+ν（1+cos2θ）。

4）若考虑单轴受压状态，令σ₃=0，式（5-8）和式（5-9）变为

2.应变能的解法Ⅱ

（1）Kemeny^[166]提出了应变能的另外一种表达方式，可以通过裂纹尖端的应力强度因子获得。其公式为积分区域为翼形裂纹的长度范围

式中 c₀——初始裂纹的长度；

l₀——翼裂纹长度。

假定裂纹之间无影响，则应用单条滑移型裂纹的应力强度因子为：，将K_I代入式（5-12）得

（2）裂纹引起的轴向和侧向应变分别为：

1）轴向

若考虑单轴受力状态下，则

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2）侧向

若考虑单轴受力状态下，则

3.应变能的解法Ⅲ

1）采用考虑裂纹间距滑移裂纹组的应力强度因子，即式（4-6）来获得应变能。

将式（4-6）带入，求得

令；；

上式简化为

2）由于本书重点研究侧向应变，将不再计算轴向裂纹应变值。侧向应变为

令σ₃=0，则

4.对比分析

选取朱维申等^[167]数据，如表5-2中正长岩的参数代入三种不同应变能方法求得的侧向裂纹应变值进行对比分析，考察其合理性。

表5-2 正长岩的参数

通过简化最后得到三种方法的应变表达式如下；；

从上述三个等式可以看出，裂纹张开引起的侧向应变简化为应力和裂纹密度的函数。且三种方法的常数项量值差别不大，其中通过考虑裂纹间距的应力强度因子获得的应变更符合实际。

取图3-1中裂纹非稳定扩展点进行考察，得到。这与试验中获得的数据-3.2E-04较为吻合（见图3-1），同时验证了应变公式的合理性。

又知侧向弹性体积应变，因此可以获得裂纹密度函数，即