系统实现理论详解

5.1.1.1　系统的状态空间方程描述

系统的动态特性，可以在不同的表达空间借助于各种数学模型来描述。在水工结构振动测试与分析中，结构系统动态特性的描述通常是在时间空间（时间域）、频率空间（频率域）和模态空间（模态域）内进行的，不同的模型对应不同的算法和识别理论。在时域识别中，就有状态空间模型、Prony多项式模型、自回归模型（AR模型）、滑动平均模型（MA模型）以及自回归滑动平均模型（ARMA模型）等系统的描述模型。本章所采用的模态参数识别方法的基础是状态空间模型。

1.连续状态空间方程

对一个N自由度线性定常系统，在P个激励力作用下，其运动方程常用下列微分方程组来描述：

式中：q（t）为N维位移向量；u（t）为P维激励力向量；M、C、K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；当不计刚体运动时，M、K均为正定矩阵；L为荷载分配矩阵，它是N×P阶矩阵，它反映各种激励源在各激励点引起的激励分配情况。

将式（5.1.1）左右两边各乘以M-1并移项可得

引入系统状态向量：

则可得状态方程为

式中：Ac称为系统矩阵，为2N×2N阶矩阵，反映了系统的构成和系统的状态变化情况；Bc称为输入矩阵（又称控制系数矩阵），为2N×P阶矩阵，反映了系统输入对系统状态的影响。

系统的输出向量y（t）与状态向量x（t）之间有如下关系：

式中：y（t）为m维向量，m为观测点数；Cc为系统的输出矩阵（又称观测系数矩阵），为m×2N阶。式（5.1.6）又称为观察方程，它表征系统输出与状态之间的关系。

2.离散状态空间方程

在实际工程中，实测数据总是离散的，而且计算机不可能对无限长的连续信号进行分析处理，在数字信号分析的过程中，只能将其截断变成有限长度的离散数据。因此，在实际应用中应将连续状态空间方程转换为离散状态空间方程。在振动信号测试中，连续的模拟信号转换为离散数字信号是由模数（A/D）转换器来完成的，经A/D转换器出来的离散信号能否反映原连续信号，一般认为对连续信号进行采样时，应满足采样定理，这样离散信号才能在某种程度上反映原连续信号。

在连续状态空间方程中，当t=t0时有初始条件x（t0），则状态变量的x（t）的通解如下：

设时间间隔为Δt，则离散时间序列为0，Δt，2Δt，…，（k+1）Δt，…，将t=（k+1）Δt，t0=kΔt代入式（5.1.7）可得

xk=x（kΔt）表示由采样时刻的位移和速度向量组成的系统状态向量，xk+1表示在k+1时刻系统的状态向量。令τ′=（k+1）Δt-τ，则式（5.1.8）可表示为

则式（5.1.8）可表达为

同样，输出方程可写为

因此，一个动力学系统离散的状态空间方程可表示为

式中：k为采样点序号；xk=x（kΔt）为在kΔt时刻系统的状态向量，Δt为离散时间间隔；A=exp（AcΔt）是离散的系统矩阵；B=[A-I]A-1c Bc为离散的输入矩阵；C=Cc为离散的输入矩阵。

3.随机状态空间方程

实际工程的测量中总是存在着系统的不确定性，即随机分量（噪声），如果将系统的不确定性分成过程噪声wk和测量噪声vk的话，则可得如下的离散时间随机状态空间模型：

实际上很难准确确定各自的过程噪声和测量噪声的特性，假定噪声为零均值的白噪声且其协方差矩阵满足：(www.xing528.com)

式中：E为数学期望符号；δpq为Kronecker delta函数，即对于p和q任意两个时间点，满足

在实际测量过程中，水流激励是不可测量的随机激励，而且其强度基本和噪声影响相似，因此，将式（5.1.14）中的输入项uk和噪声wk、vk合并，从而得到纯随机输入的离散状态空间方程：

式中：A和C分别表示2N×2N阶状态矩阵和m×2N阶输出矩阵，系统的动力特性由特征矩阵A的特征值和特征向量表示。

5.1.1.2　系统的可控性与可观性

在何种条件下才能有效识别出所需的各阶模态参数是人们所关心的问题。本节将运用现代控制论中的可控性与可观性加以说明。关于可控性与可观性的概念早在1960年由R.E.Kalman首先提出。关于控制论中的系统可控性与可观性的详细论述，可参考文献[78]。

1.系统的可控性

系统的可控性可定义为：若存在一个控制向量，在有限的时间内，能使系统从任意初始状态（t=t0）转移到任意指定的最终状态（t=T），此时系统是可控的，或称它具有可控性。

对振动系统而言，可控性的含义是指，选择一些激励点，使系统所有各阶模态都能被激发出来。很显然，对于实模态而言，若激励点恰好位于某阶模态的节点上，则在相应信号中便不包含该阶模态的信息，无论激励力多大，从理论上讲，激不出该阶模态，此时系统是不完全可控的。

对由状态方程所描述的2N阶线性定常系统，其可控性的充要条件为可控性矩阵Q的秩为2N（满秩）。Q可写为

即：Rank（Q）=2N。可举例说明如下：

若已知矩阵则可控性矩阵Q可写为

显然，Rank（Q）=1≠2，因此矩阵Q为非满秩的，因此系统是不完全可控的。

若已知矩阵则可控性矩阵Q可写为

显然，Rank（Q）=2，矩阵Q为满秩的，因此系统是完全可控的。

2.系统的可观性

系统的可观性定义为：在给定控制后，若能根据时间间隔t0～T的输出测量，可唯一地确定系统的状态，则此系统为可观的。

对2N阶线性时不变系统，可观性的充要条件为可观性矩阵P的秩为2N（满秩），P可写为

即：Rank（P）=2N。

对振动系统而言，可观性的意义可理解为：选择一些测量点，并在所测得的各点输出（响应）信号中包含系统各阶模态的响应分量，从而可从测量的响应信号中获取系统的全部模态参数。当测量响应中不包含某阶模态的信息时，则不可能得到系统的全部模态参数，则系统为不可观的。

5.1.1.3　系统最小实现

式（5.1.14）中的三重矩阵[A，B，C]为系统的实现。当它们的阶次最小，系统又达到可控、可观时，则称为最小实现系统。