基于奇异熵的信号降噪技术优化方案

4.3.2.1　熵

熵（Entropy）是由德国物理学家克劳修斯在1865年提出的，是应用范围非常广泛的一门学科理论，熵既是一个物理学概念，又是一个数学函数，也是一种自然法则。对于一个广义的系统来说，熵可作为系统状态的混乱性或无序性的度量。一般来说熵值越小，系统不稳定性、无序性和不确定性的程度就越小。目前，熵的应用已经远超出热力学和统计物理的概念，在信息学、数学、天体物理、生物医药等领域也有着广泛应用。熵是系统状态不确定性的一种度量，假设系统可能处于n种状态，处于每种状态的概率为pi（i=1，2，…，n），则系统的熵为[83]

式中

4.3.2.2　奇异熵与奇异谱

根据信号奇异值分解原理，对于一个m×n维的实矩阵Q，必然存在一个m×l维的矩阵R，一个l×l维的对角线矩阵Λ和一个n×l维的矩阵S，使得如下关系成立：

式中，对角元素矩阵Λ的主对角元素λi（i=1，2，…，l）是非负的，并按降序排列，即λ1≥λ2≥…≥λl≥0，这些对角元素便是矩阵Q的奇异值。

理论与实践证明，当信号无噪声或具有较高信噪比时，对其进行奇异值分解后得到的Λ矩阵可描述为

而当信号具有较低信噪比时，其奇异值分解后得到的Λ矩阵可描述为

显然，Λ矩阵中非零主对角线元素的多少与信号所含频率成分的复杂与否有着密切的联系。Λ矩阵中非零值主对角线元素越多，信号成分越复杂，甚至当信号受到噪声干扰后，Λ矩阵的主对角元素有可能均为非零值；而Λ矩阵中的非零值主对角元素越少，则说明信号的频率成分越简单。由此表明，Λ矩阵可对工程结构振动信号的信息量做出客观反映。基于Λ矩阵的特性，引入信号奇异熵的概念，奇异熵定义式为

式中：k为奇异熵的阶次；ΔEi为奇异熵在阶次i处的增量，可通过式（4.3.7）计算得到：(www.xing528.com)

式中，令则由σi（i=1，2，…，l）组成的序列便为矩阵Q经奇异值分解后得到的奇异谱。

通过式（4.3.6）和式（4.3.7）可以看出，信号的奇异熵值越大，说明信号越复杂，信号所含的信息也就越丰富。

4.3.2.3　基于奇异熵的信号降噪

假设一结构动力响应测试信号X，为对其进行降噪处理，利用延时嵌陷技术构造信号相空间，将原始信号x（t）=[x（t） x（t+τ） x（t+2τ） x（t+3τ） …]（τ为延时）映射到m×n维相空间内，得到重构吸引子轨道矩阵D：

将矩阵D进行奇异值分解，按式（4.3.5）～式（4.3.7）可求得信号的奇异熵及其增量。对于Λ矩阵中高阶次下的非零对角元素完全是因噪声干扰所致。因此若只保留奇异值矩阵Λ中的前k个主对角线元素，而将后（l-k+1）个主对角线元素均取为零，再将所得新主对角矩阵代回式（4.3.3），便可得到

则通过式（4.3.9）计算出的矩阵便可认为是原轨道矩阵D的一个估计。于是根据重构吸引子轨道矩阵的重构原理，通过矩阵便可得到原信号X经降噪处理后的信号可见，信号的奇异谱降噪相当于对原信号进行了低通滤波处理：

式中：W表示一低通滤波器，其数学表达式为

对于确定的信号重构吸引子轨道矩阵D，对其进行奇异值分解后，矩阵Λ和S是确定的。因此，通过公式（4.3.11）可知，低通滤波器W主要决定于矩阵的构造直接决定着信号最终的降噪效果。