信号的相空间重构及其应用

4.3.1.1　相空间重构的概念

一个系统在某一时刻的状态称为相，决定状态的几何空间称为相空间。一般而言，非线性系统的相空间可能维数很高，甚至无穷，有时还不确定维数是多少。而在实际问题中，往往得到的是一个时间间隔为τ的单变量的时间序列x1，x2，x3，…。传统的做法是直接用这个序列分析它的时间演变，但由于时间序列是许多因子相互作用的综合反映，它蕴藏着参与运动的全部变量的痕迹，因而必须把此时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间中去，才能把时间序列中的信息充分的显露出来，这就是时间序列的相空间重构。本书正是基于相空间重构的思想，将泄流激励下结构的动力响应扩展到高维的相空间中去，利于基于奇异熵定阶的奇异值分解方法将原始复杂的测试动力响应信号分解成结构振动响应信号空间与噪声信号空间，准确地度量信号的复杂程度，对振动响应信号进行有效降噪处理。

4.3.1.2　信号延时嵌入相空间重构方法

1981年Takens提出了相空间的延时坐标法，奠定了相空间重构技术的基础。该方法用单一的标量时间序列来重构相空间，包括吸引子、动态特性和相空间的拓扑结构，该方法已成为最主要的相空间重构方法。设长度为N的某一实测信号的时间序列为{x（t0+kτ），k=0，1，…，N-1}，τ为采样周期；重构的相空间为Rm，则重构轨迹为(www.xing528.com)

式中：x′（ti）=x[t0+（r-1）τ]，r=1，2，…，N；Xi为重构相空间Rm中M点中的第i个点，而M=N-（m-1）p；m为嵌入维数。

若设Δt=pτ为时间延迟，Δtw=（m-1）τ为时间窗，可见，在重构信号相空间时只要选择m、Δt和Δtw中的任意两个参数即可，另一个参数可由Δtw=（m-1）τ直接求得。理论上，在数据无限长且不含噪声的情况下，延迟是任意的，但该条件不容易满足，因此必须注意选取延时，使得动力吸引子重构具有一定的可靠性；此外，嵌入维数的选取应能保证体现系统的所有基本特征，关于延迟及嵌入维数的选择方法可参考文献[82]。