数字滤波器的时域方法

数字滤波器的时域方法是对信号离散数据进行差分方程来达到滤波的目的。经典数字滤波器有两种：一种是IIR滤波器，称为无限长冲击响应滤波器；另一种是FIR滤波器，称为有限长冲击响应滤波器。数字滤波器一般要经过以下三个步骤完成：第一，在设计一个滤波器之前，必须首先确定一些技术指标，这些指标可以根据实际工程需要来制定；第二，技术指标确定后，利用数学和数字信号处理的基本原理提出一个滤波器模型来逼近给定的指标；第三，根据上述两个步骤得到的结果是以差分方程描述的滤波器，根据这个描述编制相应滤波程序即可实现滤波。

4.2.3.1　IIR滤波器

IIR滤波器具有无限持续时间的冲击响应，由于这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而又称为递归滤波器。IIR滤波器的滤波表达式可以表示为一个差分方程：

式中：x（n）、y（n）分别为输入和输出时域信号序列；ak、bk均为滤波系数。

它的系统函数为

式中：N为IIR滤波器的阶数；M为滤波器系统传递函数的零点数；ak、bk均为权函数系数。

IIR滤波器的设计常借助于模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤波器，模拟滤波器的设计比较成熟，常用的模拟低通滤波器的原型产生函数有巴特沃滤波器原型、切比雪夫Ⅰ型和Ⅱ型滤波器原型、椭圆滤波器原型、Bessel滤波器原型等，关于这些滤波器的特性函数，在此不再赘述，可参考相关文献。

4.2.3.2　FIR滤波器

FIR滤波器的特征是冲击响应只能延续一定时间，在工程实际应用中主要采用非递归的算法来实现。FIR滤波器的表达式用差分方程形式可表示为

式中：x（n）、y（n）分别为输入和输出时域信号序列；bk为滤波系数。

FIR滤波器的冲击响应函数h（n）的z变换为系统传递函数，可表示为

其冲击响应为

FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法和频率采样法，其中窗函数法以其运算简便、物理意义直观等优点得到广泛应用。一个理想数字滤波器的频率响应函数可表示为

式中：hd（n）为冲击响应序列。(www.xing528.com)

由傅里叶逆变换可得

由于hd（n）是非因果性的，且hd（n）的持续时间无限长，物理上无法实现，因此最直接的方法是截短该理想冲击响应序列，用有限长的序列去逼近，则一个新的限长的冲击响应序列可表示为

h（n）可被看成理想冲击响应与一个有限长的窗函数的乘积，即

式中：w（n）为简单截取所构成的矩形窗函数。

w（n）的定义为

利用复卷积定理可得

由有限长度离散傅里叶变换的特性可知，矩形窗使序列被突然截断会造成谱泄漏，产生吉布斯现象。为减小吉布斯现象的影响，可以选择一个适当的窗函数，使截断不是突然发生而是逐步衰减过渡到零。窗函数的频率特性的主瓣宽度应尽可能窄且尽可能地将能量集中在主瓣内，旁瓣的能量在当ω→π的过程尽快趋于零。工程实际中常用的窗函数有矩形窗、巴特利窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗、凯泽窗等。在工程上，窗函数的选择原则一般为：①具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度；②旁瓣幅度下降的速度要快，以利于增加阻带的衰减；③主瓣的宽度要窄，这样可以得到比较窄的过渡带。

4.2.3.3　IIR滤波器与FIR滤波器的比较

IIR滤波器系统函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可以用较低的阶数获得高选择性，所用存储单元少，经济且效率高。但这些是以相位的非线性为代价的。选择性好，则相位非线性越严重；相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高选择性，对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可以比IIR滤波器高5～10倍，成本较高，信号延时也比较大。

FIR滤波器可以用非递归方法实现，有限精度的计算不会产生振荡。同时由于量化舍入及系数的不准确所引起的误差的影响比IIR滤波器要小。此外，对IIR滤波器应注意稳定性问题，注意极点是否会位于单位圆之外，有时有限字长效应会引起寄生振荡。且FIR滤波器可采用FFT算法，在相同阶数下，运算速度快。

IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具要求不高。FIR滤波器没有现成的设计公式，窗函数法仅仅给出窗函数的计算公式，但计算通、阻带衰减仍无显示表达式，其他大多数设计FIR滤波器的方法都需要借助计算机辅助设计。

总之，IIR滤波器设计法，主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的滤波器，而FIR滤波器则易于适应某些特殊应用，如构成微分器或积分器，或用于巴特沃斯、切比雪夫等逼近不可能达到预定指标的情况。本节模拟信号的降噪采用IIR滤波器设计法，应用实例将在后节中讨论。