函数奇异性度量与小波变换

函数在某点处间断或某阶导数不连续，称函数在该点处有奇异性，该点称为奇异点。利用小波变换具有时频局部化的性能，可以对函数（信号）的奇异性进行分析，并确定奇异点的位置与奇异性的大小。

4.1.1.1　奇异性的Lipschitz指数度量

Lipschitz指数α可对常见的奇异点进行度量，关于Lipschitz指数（简称L指数）α的概念可参考文献[80]。首先，引入函数f（t）与它的原函数F（t）在t0点处的L指数的关系：若f（t）的原函数F（t）在t0点处的L指数为α+1（α＜0），则f（t）在t0处的L指数为α。

对于斜坡形式或折线函数，设t0是奇异点，显然有

此时，函数在t0处的L指数为α=1。

对于阶跃函数，设t0是阶跃点，则有

显然，函数在t0处的L指数为α=0。

对于δ（t）函数的奇异性度量，由于δ（t）函数的原函数是单位阶跃函数：

因此，可推知δ函数在奇异点处的L指数α=-1。

可见，函数的点态L指数α可以刻画函数在奇异点处的突变程度。α越大，函数在该点光滑程度越高，奇异性越小；而α越小，函数在该点处突变程度越大。(www.xing528.com)

奇异点在信号与图像处理中称为边缘点或突变点，它包含了信号的重要特征，在信号降噪处理中会涉及奇异点的问题。

4.1.1.2　函数奇异性与小波变换

S.Mallat将函数（或信号）的局部奇异性与小波变换后的模极大值联系起来，通过小波变换后的模极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性。设小波φ（t）是实函数且连续，具有衰减性：|φ（t）|≤K（1+|t|）-2-ε，（ε＞0），f（t）∈L2（R）在区间I上是一致L指数α（-ε＜α≤1），则存在常数c＞0，使得对于任意的a，b∈I，其小波变换满足

反之，若对于某个α（-ε＜α≤1），f（t）∈L2（R）的小波变换满足式（4.1.5），则f（t）在I上具有一致的L指数α。若t0是f（t）的奇异点，则|Wf（a，b）|在b=t0处取极大值，即式（4.1.5）的等式成立。

在二进制小波变换情形下，式（4.1.5）变成在信号处理中，常常使用卷积型小波变换，设f（t），φ（t）∈L2（R），记

式（4.1.8）称为f（t）的卷积变换小波变换。如果将f（t）的小波变换理解成卷积型小波变换，则式（4.1.5）和式（4.1.6）可写为

式（4.1.5）和式（4.1.6）表明，若α＞-1/2，则小波变换模极大值随着尺度j的增大而增大；若α＜-1/2，则小波变换模极大值随着尺度的增大反而减小。这种情况说明，该信号比不连续信号（如阶跃信号，α=0）更加奇异，这正是噪声对应的情况。如高斯白噪声，它是几乎处处奇异的且是广义随机分布的，具有负的L指数α=-1/2-ε（ε＞0）。

可见，可以利用小波变换模的极大值随尺度变化的情况来推导信号的奇异点类型，当尺度j增大而小波变换模反而减小，则可推断信号在奇异点出的L指数α＜0；相反的情况下，α＞0。当j变化时而小波变换模值不变，则有α=0。据此可将信号与噪声加以区别。