QR分解在传感器配置原理中的应用

根据模态叠加原理，系统的响应可以表示为

式中：{u}为物理坐标，{u}∈Rs×1；φi为第i阶模态向量；Φs∈Rs×m为模态向量矩阵；qi为第i阶模态坐标；{q}∈Rm×1；s为传感器数量；m为所识别的模态个数。

式（3.1.1）的最小二乘解为

如果考虑测量噪声，则式（3.1.1）应改写为

式中，v代表方差为σ2的高斯分部白噪声，这里假设测量噪声相互独立并且对各个传感器测量信号的统计特性相同，则与{q}的协方差为

式中：[Q]称为Fisher信息矩阵。(www.xing528.com)

当[Q]取极大值时，协方差[P]最小，就能够得到较好的估计。所以必须使[Q]的某一种范数最大，这里选取常用的2-范数‖Q‖2，由于

因此，以上对[Q]的要求可通过求Φs的选择来实现。根据矩阵理论，列主元QR分解是选取矩阵列向量组具有较大范数子集的一种简捷有效的方法。

设有限元模型所得的模态向量矩阵对应于可测自由度的子集为Φ，Φ∈Rn×m。一般有m＜n，并且r（Φ）=m，即矩阵Φ列满秩。由于列主元QR分解选择的是列向量组的子集，因此进行ΦT的列主元QR分解：

式中：Q∈Rm×m，R∈Rm×n，E∈Rn×n，|R11|＞|R22|＞…＞|Rmm|；E为置换矩阵，则Φ中对应于}的行（即自由度）就是Φ的行向量组中具有较大范数的子集即自由度（其中代表R矩阵的第i列）。