【摘要】：与欧氏距离相比，马氏距离不仅能够结合数据的统计特性，还能兼顾样本间的相关性，且满足尺度无关性质。可见，基于马氏距离的度量学习的目的就是对于给定的训练样本集X，求取一个半正定对称矩阵M，用来建立起样本的特征向量之间的联系，使得训练样本之间的相似关系得到保留。
Xing等人(2002)提出一种典型的基于Mahalanobis的距离度量学习方法。马氏距离(Mahalanobis distance)是印度统计学家马哈拉诺比斯在1936年引入的距离度量，表示数据的协方差距离，是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离相比，马氏距离不仅能够结合数据的统计特性，还能兼顾样本间的相关性，且满足尺度无关性质。基于马氏距离的度量学习的基本思想是:根据特定的问题，通过样本训练寻找一个合适的度量矩阵M，使得样本之间的距离函数可以表示为下式:
它使用成对约束集合作为训练样本的约束条件，将优化目标选为最小化所有在等价约束集合中的样本对的距离，并保证在不等价约束集合中的样本对保持一定的距离，由此构造了如下凸优化问题:(www.xing528.com)
式中，M为半正定矩阵；S表示同类别样本构成的成对约束集，S＝{(xi，xj):xi和xj是相似的}；D表示不同类别样本构成的成对约束集，D＝{(xi，xj):xi和xj是不相似的}。该算法应用于聚类问题取得了明显的效果[8]。可见，基于马氏距离的度量学习的目的就是对于给定的训练样本集X，求取一个半正定对称矩阵M，用来建立起样本的特征向量之间的联系，使得训练样本之间的相似关系得到保留。
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