计算实例与数学模型的关系探究

例15-2 某压力容器内部气体压强p=1.5MPa，容器内径D₁=250mm，螺栓组中心圆直径D₂=346mm，要求剩余预紧力是工作载荷的1.8倍（即Q₀′=1.8Q），螺栓间距t≤120mm，安装时控制预紧力，用衬垫密封，如图15-2所示。试设计成本最低的螺栓组联接方案。

解：建立优化设计的数学模型

1.设计变量

由于螺栓组的成本取决于螺栓直径d和个数n，因此取设计变量

图15-2 压力容器的螺栓组联接

2.目标函数

根据式(15-4)和式(15-5)．建立螺栓组成本的目标函数

f(X)=x₂（k₁x₁-k₂）

3.约束条件

螺栓组联接的约束条件要综合考虑容器的密封性、螺栓强度和扳手空问等要求。

1）为了保证螺栓之间的密封压力均匀，防止局部漏气，应使螺栓间距t≤120mm，即

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因此，得到约束条件

2）为了保证螺栓联接的装配工艺性，螺栓之间的间隔不能小于5d，即

因此，得到约束条件

3）压力容器联接螺栓组的强度条件是

式中，系数1.3是考虑紧螺栓联接时处于拉伸和扭转复合应力状态，对于公称直径d=10～68mm的钢制螺栓，按照塑性材料的第四强度理论分析，螺纹拧紧时产生的扭转切应力，表现在数值上将轴向拉应力增大30%；对于材料为35钢的半精制螺栓许用应力[σ]=σ_s/S，其中屈服极限σ_s=300MPa，安装时控制预紧力时取安全系数S=1.4；d₁是螺栓小径，粗牙螺栓小径与公称直径d的关系是d₁=0.85d；单个螺栓的工作载荷Q=pπD²₁/4n；Q₀′是剩余预紧力，即Q₀′=1.8Q。

因此，螺栓联接的强度的约束条件

综上所述，这是一个有3个不等式约束的二维非线性优化问题。