设计实例M文件及计算结果优化方案

例13-7 已知某运输机用单级普通圆柱蜗杆减速器的输入功率P₁=6kW，转速n₁=1450r/min，传动比i=20，单向传动，载荷平稳（载荷系数K=1.1）。蜗杆选用低碳合金钢20CrMnTi，芯部调质，齿部渗碳淬火，硬度>45HRC；蜗轮选用锡青铜ZCuSn10Pb1，金属模铸造。蜗轮齿圈的许用接触应力[σ_H]=220MPa。试按照要求蜗轮齿圈体积最小进行优化设计。

根据传动比i=20，选取蜗杆头数z₁=2，则蜗轮齿数z₂=iz₁=20×2=40。

根据传动比估算传动效率

将已知数据代入式（13-34）之中，整理得到优化设计数学模型

可见，这是一个3维有8个不等式约束的非线性优化设计问题。

1.编制M文件

采用MATLAB求解约束极小值的优化工具箱函数fmincon求解。在主程序中输入有关数据：初始点X（0）=[2，5，18]^T、设计变量的边界条件、6个线性不等式约束的设计变量系数矩阵和常数向量，编制关于目标函数表达式的函数文件wgcd_f和约束函数文件wgcd_g。

计算结果：(www.xing528.com)

2.优化方法与结果分析

调用优化工具箱函数fmincon进行迭代计算得到

经检验，极小点X^*在蜗轮齿圈齿面接触强度约束条件g₁（X）和边界约束条件g₃（X）、g₅（X）和g₈（X）的交集上。

对优化结果进行圆整，取蜗杆头数z₁=3，模数m=5mm，按照设计规范取直径系数q=8，则蜗轮齿圈体积V=692787.4481mm³。经过检验，凑整解在可行域内。

该实例的常规设计计算结果是：蜗杆头数z₁=2，模数m=5mm，直径系数q=18，蜗轮齿圈体积是V₀=920226.4844mm³。

蜗杆传动优化设计凑整解的蜗轮齿圈体积V=692787.4481mm³，大约是常规设计计算结果的75%，可见优化设计获得满意的结果。其主要原因是在充分发挥蜗杆传动能力的条件下，增加了蜗杆的头数，降低了蜗杆直径系数，使得蜗杆直径降低较多；虽然蜗轮直径有所增加，但是它的齿宽随着蜗杆直径的降低而得以大幅降低，所以整个蜗轮齿圈的体积明显减小。