优化设计实例和数学模型

例13-5 已知某两级斜齿圆柱齿轮减速器的参数：高速级输入功率P₁=6.2kW，转速n₁=1450r/min，总传动比i=31.5，双向传动，齿轮宽度系数ψ_d=0.5，载荷系数K=1.3，齿轮材料采用45钢表面淬火，硬度45HRC。要求按照总中心距a∑最小来确定齿轮传动方案。

根据齿轮材料与热处理规范，得到齿轮材料的接触疲劳极限σ_Flim=1150MPa，齿轮材料的弯曲疲劳极限σ_Flim=340MPa。因此，齿面许用接触力[σ_H]=0.9σ_Hlim=1035MPa，齿根许用弯曲应力[σ_F]=σ_Flim=340MPa（双向传动）。

解：建立优化设计的数学模型

（1）设计变量 将影响齿轮传动总中心距a∑的六个独立参数作为设计变量

X=[m_n1，m_n2，z₁，z₃，i₁，β]^T=[x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆]^T

其中，m_n1，m_n2分别为高速级和低速级齿轮副的模数，z₁，z₃分别为高速级和低速级小齿轮齿数，i₁为高速级传动比，β为齿轮副螺旋角。

（2）目标函数 根据式（13-22），减速器总中心距a∑最小的目标函数

（3）约束条件(www.xing528.com)

1）根据式（13-24）得到齿面接触疲劳强度约束条件

2）根据式（13-25）和式（13-27）得到齿根弯曲疲劳强度约束条件

上面4式中，按照螺旋角β=8°～15°，取材料系数A_d=756，A_m=12.4。

3）根据式（13-28）得到高速级大齿轮与低速轴不发生干涉的几何约束条件

g₅（X）=x₁x₃x²₅+2（E+x₁）x₅cosx₆-x₂x₄（x₅+i）≤0

4）边界约束。根据传递功率与转速估计高速级和低速级齿轮副模数的范围；综合考虑传动平稳、轴向力不能太大、轴齿轮的分度圆直径不能太小与两级传动的大齿轮浸油深度大致相近等因素，估计两级传动大齿轮的齿数范围、高速级传动比范围和齿轮副螺旋角范围等。

因此，这是一个六维非线性优化设计问题。