实战案例：几何规划在生产中的应用

例13-4 设计某机床中的单级斜齿圆柱齿轮传动。已知小齿轮传递功率P₁=22kW，转速n₁=970 r/min，传动比i=3.5，原动机为Y系列电动机，工作机有中等冲击，单向转动，齿轮相对于轴承对称布置并靠近轴承，要求结构紧凑。

（1）选择齿轮材料及确定许用应力 由于传递功率较大，转速较高，载荷有中等冲击，又要求结构紧凑，故应采用硬齿面齿轮传动。大小齿轮都采用20CrMnTi，渗碳淬火，齿面硬度60HRC。由设计资料查出试验齿轮的疲劳极限，确定许用应力

σ_Hlim1=σHlim2=1500MPa σ_HP=0.9σ_Hlim1=0.9×1500=1350MPa

σ_Flim1=σFlim2=460MPa σ_FP=1.4σ_Flim1=1.4×460=644MPa

（2）确定强度约束函数的各项系数 根据中等冲击载荷、轴承对称布置和轴的刚度较大，取载荷系数K=1.4。小齿轮传递转矩

两个齿轮的齿根弯曲疲劳许用应力相同，因此在齿根弯曲疲劳强度条件中应该取小齿轮的复合齿形系数Y_SF。由于采用硬齿面齿轮传动，小齿轮齿数一般可取z₁=18～20，齿轮螺旋角一般是β=8°～15°，根据设计资料，近似按照齿轮的当量齿数z₁≈20时取Y_SF=4.38。

根据设计资料，按照β=8°～15°时，取A_d=756和A_m=12.4。因此各项系数为

C₀₁=1，C₀₂=2（要求径向尺寸紧凑）

（3）优化结果 将各项系数值代入式（13-21），得到目标函数最优解

将式（13-22）的上、下两式相除，得到齿宽系数最优解

由齿面接触疲劳强度约束条件式（13-17）中第1式，有

取小齿轮齿数x₂=Z₁=20，则x₁≥2.21，取第一系列标准模数x₁=m_n=2.5mm。

（4）协调设计参数 初取螺旋角β=12°，则中心距(www.xing528.com)

取圆整值a=115mm，则螺旋角

与初取值相符。

小齿轮分度圆直径

齿轮宽度 b=ψ_dd₁=1×51.1111=51.1111mm

取齿轮宽度b=52mm。

（5）计算离散最优解的约束函数值 将数据代入式（13-17），得到

由于它们都小于1，所以离散最优解在可行域内。又因为g₂（X^*）<g₁（X^*），说明该问题离散最优解的齿根弯曲疲劳强度相对有较大的裕度，对硬齿面齿轮传动有利。

讨论：如果要求径向尺寸和轴向尺寸同样紧凑，取C₀₁₌₁和C₀₂₌₁。则齿宽系数

由齿面接触疲劳强度约束条件式（13-17）中第1式有

取小齿轮齿数x₂=z₁=20，则x₁≥2.79，取标准模数x₁=m_n=3mm。

协调设计参数后得到中心距a=138mm，螺旋角β=11.969°，齿轮宽度b=31mm。可见，相对于第一种情况，齿轮副的径向尺寸增大，轴向尺寸减少。

几何规划可以用于处理目标函数和约束函数是由广义多项式构成的优化设计问题。首先根据实际问题构造几何规划模型，然后利用对偶关系通过计算线性方程组求解出对偶可行解（满足规范性、正交性和非负性条件），最后根据原始变量与对偶变量的关系求出问题最优解，求解过程简洁方便。