带传动多目标优化设计数学模型（12.1.1V）的优化

例12-1 设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电动机额定功率P=4kW，转速n₁=1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10h。要求设计方案传动结构紧凑。

解：建立优化设计的数学模型

1.目标函数

（1）确定三个分目标函数

1）小带轮基准直径

min f₁（X）=d_d1 （12-1）

2）中心距

其中，。

3）带的根数

式中，工作情况系数K_A=1.1（根据工作机械是带式输送机，每天工作不超过10h）；单根V带额定功率P₀与小带轮基准直径d_d1的关系，根据A型V带，转速n₁=1440r/min拟合为直线方程

P₀=0.002424d_d1-1.112879（kW） （12-4）

拟合效果检验：相关系数r=0.9997，标准误差σ=0.01969；功率增量△P₀=0.17kW（根据A型V带，传动比i=3，转速n₁=1440r/min）；包角系数K_α与小带轮包角α的关系，拟合为双曲线函数方程

拟合效果检验：相关指数r²=0.998625，标准误差σ=0.003489；带的长度系数K_L与V带基准长度L_d的关系，根据A型V带，拟合为幂函数方程

K_L=0.20639L⁰_d^.211806 （12-6）拟合效果检验：相关指数r²=0.9996，标准误差σ=0.0040。

（2）建立统一的目标函数 按照加权方法建立统一的目标函数。确定分目标和它们的权重：考虑到各分目标的量纲不同，根据各分目标函数值的变化范围：小带轮基准直径f₁=d_d1=75～125mm，中心距f₂=a=210～640mm，带的根数f₃=z=1～6，取分目标goal=[80，400，4]。

按照一般规律，各分目标的权重为各分目标的绝对值，即w=abs（goal）。因此，建立统一的目标函数为

2.设计变量(www.xing528.com)

根据V带传动的目标函数表达式分析可知，当带型、传递功率P、传动比i和小带轮转速n₁已知时，其独立设计变量是小带轮直径d_d1和带的基准长度L_d，即

3.约束条件

（1）边界条件

1）根据V带传动设计规范，A型带轮的小带轮直径允许最小直径

即

再根据带速不超过最大带速

即

因此，设计变量x₁的取值范围是75≤x₁≤33。

2）根据设计规范，从A型V带基准长度的范围得到设计变量x₂的取值范围是630≤x₂≤4000。

（2）性能约束条件

1）带速不超过最大带速v_max=25m/s

2）小带轮包角α_min≥120°

3）中心距>0.7d_d1（i+1），则

g₃（X）=0.7d_d1（i+1）-a=2.8x₁-a≤0 （12-10）

因此，这是一个3个目标的非线性约束优化问题。