优化设计：实现连杆轨迹的优化方案

曲柄摇杆机构实现预定轨迹功能，即通过机构来引导连杆上的某一点，使得它运动时通过空间指定轨迹上的一系列点。

例9-4 如图9-7所示的曲柄摇杆机构，当曲柄AB整周转动时，要求连杆BC上的M点实现给定的运动规律，其坐标值见表9-1。机构的许用传动角[δ]=30°。试确定该曲柄摇杆机构的运动学尺寸，使M点的实际运动轨迹与给定轨迹之间的偏差尽可能小。

图9-7 曲柄摇杆机构实现预定 轨迹的运动几何关系

表9-1 连杆BC上的M点实现给定的运动坐标值

1.建立优化设计的数学模型

（1）确定设计变量 如图9-7所示，机构的机架AD与直角坐标系XOY的X轴夹角为β，并取铰链A为坐标系原点；连杆BC与固定杆件BM的夹角为γ；曲柄AB位置相对于机架AD的初始位置角为θ₀。

根据机构的运动几何关系可知，当曲柄AB位置已知时，连杆BC上M点的坐标取决于各个构件的长度l₁，l₂，l₃，l₄，l₅和角度参数β，γ，θ₀，因此设计变量为

X=[x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇，x₈]^T=[l₁，l₂，l₃，l₄，l₅，β，γ，θ₁]^T

（2）建立目标函数 根据题意，曲柄AB整周转动时取8个离散点。目标函数按照使连杆BC上M点的实际轨迹与给定轨迹之间8个对应的坐标值误差均方根最小建立，它的表达式是

式中，S_xi、S_yi是连杆BC上M点第i个位置的给定坐标，见表9-1，M_xi、M_yi是连杆BC上M

点第i个位置的实际坐标。根据图9-7所示的几何关系得到

（3）确定约束条件

①根据曲柄摇杆机构的曲柄存在条件，可以建立6个性能约束条件

②根据机构的最小传动角条件，可以建立1个性能约束条件。曲柄在与机架共线的位置时，机构有最小传动角（图9-5）。根据机构在该位置△B″C″D的余弦定理得到(www.xing528.com)

经过整理．得到约束方程

③根据设计变量的边界条件，得到13个边界约束条件

2.M文件和优化结果

对于该8维约束非线性优化问题，可采用MATLAB的非线性约束优化函数fmincon求解。编制关于优化设计数学模型的目标函数文件、约束函数文件和调用命令文件。

计算结果：

因此经过迭代计算得到最优解后，再四舍五入为凑整解：

目标函数值f（X^*）=1.9718 f（X^*′）=1.9989

最小传动角δ_min=53.8751°δ′_min=53.5270°

经检验，最优点X^*位于边界约束g₉（X^*）=0和g₁₈（X^*）=0的交集上，凑整解在可行域内。