无约束非线性规划问题的优化算法

求解无约束非线性规划问题minf（X）的MATLAB函数有：fminbnd、fminunc和fmin-search，它们都只能输出局部最优解。

1.函数fminbnd应用

函数fminbnd只能求解单变量的无约束非线性规划问题，而且要求目标函数为连续函数。它的调用格式为：

其中，输入参数有：

● fun是目标函数。

● [x1，x2]是迭代搜索区间，即变量的边界约束，即x1≤x≤x2。

● options是设置优化选项参数，见表8-1。例如，options（1)为负值时，则显示中间过程，默认值是options（1）=0；options（2）为最优解xopt的误差范围，默认值是“1e-4”；options（14）是函数求值的最大次数，默认值是options（14）=500。

输出参数有：

● Xopt为返回的满足fun取得最小值的x的值。

● fopt为目标函数最小值。

● exitflag表示退出条件：exitflag>0表示计算收敛，exitflag=0表示超过了最大的迭代次数，exitflag<0表示计算不收敛。

● output表示输出信息，它有3个分量：“iterations”表示迭代次数，“funcCount”表示代入函数次数，“algorithm”表示选用的优化算法。

例8-8 求解单变量的无约束非线性规划问题

M文件运行结果：

从输出结果可知，在最优点x^*=0.2176处，函数值f（x^*）=-1.1312。由于exitflag=1，表示计算收敛。优化运算的输出信息表明：迭代次数是12，代入函数次数是13，选用的一维黄金分割优化算法，运用了抛物线插补。绘制符号函数图形如图8-2所示。

2.函数fminsearch应用

函数fminsearch可用于求解单变量或多变量的无约束非线性规划问题，它的优化算法比较简单，适合处理目标函数阶次低、间断点多和比较简单的优化问题。它的使用格式为：

其中，输出参数有：

图8-2 一维非线性函数线图

● xopt和fopt分别是返回目标函数的最优解及其函数值。

● 返回参数exitflag表示退出条件：exitflag>0表示计算收敛，exitflag=0表示超过了最大的迭代次数，exitflag<0表示计算不收敛。

● 返回参数output表示输出信息，它有3个分量：“iterations”表示迭代次数，“func_- Count”表示代入函数次数，“algorithm”表示选用的优化算法。输入参数有：

● fun是目标函数。

● x0是初始点。

● options是设置优化选项参数，见表8-1。例如，options（1）为负值时，则显示中间过程，默认值是options（1）=0；options（2）为最优解xopt的误差范围，默认值是“1e-4”；options（3）为最优解fopt的误差范围，默认值是“1e-4”；options（14）是为函数求值的最大次数，默认值是options（14）=200。

例8-9 求二维无约束非线性函数的最优解。

M文件运行结果：

(https://www.xing528.com)

从输出信息可知，使用单纯形法寻优，经过36次迭代计算之后，计算收敛在极小点X*，目标函数达到最小值f（X^*）=-0.6414。绘制符号函数图形如图8-3所示。

图8-3 二维非线性函数三维曲面图

3.函数fminunc应用

函数fminunc的优化算法比较复杂，而且可供选择的几种不同算法，适用于求解比较复杂的优化问题。它的调用格式是：

其中，输出参数有：

● x是返回目标函数的最优解。

● fval是返回目标函数在最优解x点的函数值。

● exitflag是返回算法的终止标志。

● output是返回优化算法的信息的一个数据结构。

● grad是返回目标函数在最优解x点的梯度。

● hessian是返回目标函数在最优解x点的hessian矩阵值。

输入参数有：

● fun是调用目标函数的函数文件名。

● x0是初始点。

● options是设置优化选项参数，见表8-1，有18个元素，用以在计算时控制精度要求、输出形式、算法选择、迭代次数、梯度等重要问题，可用空矩阵符号“[]”表示它的默认值。

● P1、P2等是传递给fun的附加参数。

例8-10 求二维无约束非线性函数的最优解

说明：在优化函数fminunc的输入参数“options”命令中各个选项的意义是：

●′ largescale′，′off′表示关闭了大规模方式。

●′ display′用来控制计算过程的显示。

●′ iter′表示显示优化过程的每次计算结果（′off′不显示所有输出，′final′仅输出最后

结果）。

●′ tolx′，1e-8是控制输入变量x的允许误差精度。

●′ tolfun′，1e-8是控制目标函数的允许误差精度（默认值是“1e-4”）。

M文件运算结果：

说明：M文件运行的输出信息表明，使用拟牛顿线搜索算法，经过7次迭代，得到目标函数的极小点和最优函数值f（X^*）=1.8304×10^-15。目标函数在极小点的梯度是，非常接近零向量；hessian矩阵是。

该二维非线性函数的三维曲面图如图8-4所示。

图8-4 二维非线性函数的三维曲面图