矩阵除法及应用

因为矩阵乘法并沒有交换律，所以B^-1A和AB^-1一般而言并不相等。因此MATLAB提供两种除法（左除运算符号“\”和右除运算符号“/”）。凡是按矩阵规则可以和逆矩阵B^-1相乘的矩阵（两个矩阵的维数相同），都可以根据左乘或右乘进行除“\”或除以“/”的计算。

1.矩阵的左除（运算符号“\”）

在矩阵A的左边乘B^-1，即B^-1A，称为矩阵B除矩阵A，运算符号是B\A。如果矩阵A是一个非奇异方阵，矩阵的左除A\B等于矩阵A的逆与B的左乘inv（A）B。

应当指出：

1）如果矩阵A是一个方阵，表示矩阵方程AX=B的解是X=A\B，或X=inv（A）B，这里的X具有与矩阵B相同的维数。

2）如果矩阵A是一个m×n矩阵（m>n），X=A\B得到矩阵方程AX=B的最小二乘解inv（A）B。

3）如果矩阵B是一个列向量b，则X=A\B是线性系统AX=b的解。

2.矩阵的右除（运算符号“/”）(www.xing528.com)

在矩阵A的右边乘B^-1，即AB^-1，称为矩阵A除以矩阵B，运算符号是A/B。如果矩阵A是一个非奇异方阵，矩阵的右除A/B等于矩阵A的逆与B的右乘Binv（A）。

矩阵方程XA=B的解是X=B/A，或X=Binv（A）。

例2-6 试对两个3行3列的方阵A=[2，2，3；3，4，5；6，4，3]和B=[1，2，3；2，2，3；2，3，4]进行除法运算。

线性联立方程组的矩阵形式可以写成Ax=b，其中A是一个n维可逆方阵，b是一个n维列向量。从矩阵除法可知，x=A\b就是线性联立方程组的一组解。

例2-7 利用矩阵除法求解3维线性方程组

运算结果：

说明：理论上残量应该是零向量，但是因为数值计算产生误差无可避免，它未必真的是零。命令语句中函数norm（X）是计算3维向量X的模，通常只要残量的向量长度（范数）在10^-14以下，就认为数值解是十分精确的。