数字信号在接收端如何实现无失真恢复

5.2.3节中接收端只是把信号接收到了，要讨论“恢复”，还要对接收信号进行某种处理才行。现在就讨论接收端“恢复”序列采用的操作，可以想象采样是对一个电磁信号最简单的、最机械的、易于实现的操作之一了。我们就先讨论采样的情况。那该问题就变成了：接收端如何通过由采样操作得到的采样点序列来恢复发射端原数字序列。我们假设接收端采样间隔和发射端发送间隔一样，也为T_s。

1.码间串扰

注意到接收到的信号为

再以T_s为间隔重新采样，得到的第n个采样点为

式（5-5）中，如果对于n-i≠0，有s[（n-i）T_s]≠0，那么第n个采样点，除了有a_n的信息，还有序列中其他位置a_i（i≠n）的信息，故一般来说接收端不能准确地恢复发射端发送的序列了，这里导致不能恢复的原因一般被称为“码间串扰”或“码间干扰”。那什么时候没有码间串扰？或者，有码间串扰，但是仍然能准确恢复原数字序列呢？

2.狭义无失真

先看第一种情况，什么时候完全没有码间干扰？也即最狭义的无失真情形，需要接收端得到的采样脉冲序列和发射端的脉冲序列完全一样。那么接收端采样后的信号频谱也应该和发射端是完全一样的，即都为冲激序列的频谱。那对任意序列{…，a_n，…}确定的脉冲序列的频谱是什么？这个问题很少被讨论，下面讨论一下。

性质5-1 脉冲序列的频谱为

其中，是f（t）的频谱；f（t）是任意按T_s间隔采样能得到采样序列a_n的信号。

证明 由本书第一部分采样定理的讨论可知，一个信号对应的采样冲激序列对应的频谱是被采样信号的周期重复，故成立。

三言两语

用冲激信号采样后能得到脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s）的信号有很多，而采样后的脉冲序列频谱都是相应这些信号频谱的周期重复，如图5-4所示，其中假设F₁（ω）、F₂（ω）、F₃（ω）能得到相同的脉冲序列；而∑_na_nδ（t-nT_s）的频谱最后形式只能有一个，那说明虽然这些不同信号的频谱不同，但经过重复叠加后却是相同的。这还说明，具有相同采样点序列的信号之间的关系是很紧密的。采样点之外的那些点的取值变化众多，我们主观认为这些信号间已经没有什么关系了，但没想到还是有这么一桩联系，真是一个很有趣的问题！

现在看，哪些信道（广义的）使得一冲激序列经过后的输出信号再采样还是这个冲激序列，也就是说这种信道的冲激响应信号是什么样的？如在第一部分讨论线性无失真系统一样，讨论无失真我们首先要确定对哪个范围的信号无失真，从而才能确定相应的无失真系统。这里我们仅分两种情况讨论：(www.xing528.com)

●对于某一个特殊取值的脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s）采样无失真。

●对于所有可能取值的脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s）采样无失真。

图5-4 采样序列相同的不同信号的频谱重复

首先，对于某一个特殊取值的脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s），假设其频谱为A（ω）。从频域来看，冲激序列经过信道后的频谱为冲激序列自身的频谱A（ω）与信道传递函数S（ω）的乘积A（ω）·S（ω）。在接收端再以T_s等间隔采样出来的冲激序列的频谱为A（ω）S（ω）以W为周期的重复。所以，只要A（ω）S（ω）等于任何一个采样点序列为{…，a_n，…}的信号f（t）的频谱就可以做到采样无失真，如图5-5中A（ω）S（ω）=F₃（ω），其中A（ω）以图5-4中F₁（ω）的重复来示意。

图5-5 冲激序列过信道后频谱

通过上面的分析，显然任何一个采样点序列为{…，a_n，…}的信号f（t）可以确定一个对脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s）采样无失真信道S（ω）。比如，，也可以是，等等。但注意这是充分条件，并不代表无失真信道只来源于此。这就解决了对特殊脉冲序列采样无失真的问题。

接下来讨论对所有可能取值的脉冲序列∑_na_nδ（t-nT_s）采样无失真的信道是什么样的。首先注意到，对特殊脉冲序列采样无失真的信道传递函数S（ω）大多和该特殊脉冲序列的取值有关，那么一般来说这样的信道对于另一个不同取值的脉冲序列不再可能采样无失真。也就是说，要对所有可能脉冲序列采样无失真，起码的要求是信道传递函数S（ω）和脉冲序列的取值无关。仔细观察可以知道，所有在采样点取值为1，在与采样点间隔非0整数个采样间隔的点取值为0的信号作为冲激响应的信道能对所有脉冲序列无失真。即信道冲激响应s（t）满足

就可以做到对任意脉冲序列采样点无失真。例如，冲激响应为的信道满足条件；又例如以下信道冲激响应也满足条件：

因为当t=0时，其取值为1，当t=kT_s，k≠0的整数时，其取值为0。当然再提醒一下，这些满足条件的不同信道的输出信号是不同的，只是在采样点相同而已，但这就是我们要的效果，我们不需要整个输出信号都相同。

既然很多（广义）信道满足条件，那下面我们讨论一个效率问题：所有这些满足条件的信道里频带利用率最高的是哪个呢？是多少呢？这里利用率是指单位时间、单位频率带宽内能无误传输的有效数据符号个数，即单位时间、单位频率带宽内能无误传输的序列{…，a_n，…}的长度。对于给定间隔为T_s的所有脉冲序列，单位时间内能传递的数据符号个数固定为1/T_s，接下来只需要看要对所有脉冲序列都采样无失真的信道传递函数S（ω）的最小频谱带宽即可。