离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）详解

假设F（ω）为区间上的信号（可以是讨论采样时提出的“虚拟”频谱区间概念），记

f（t）=-1{F（ω）}

不妨设。由性质2-4知，那它可以由正交基

来表示，其中。首先根据坐标计算方法，把信号F（ω）在该组基下的坐标写出来为

那么，我们看到F（ω）居然能由f（t）的一系列离散点的值和一组基线性组合表示出来，离散点可以看成是通过采样得到的，即有

这个思路的具体推导在附录C里从线性空间推导采样定理时有详细介绍。我们已经看到，频带有限信号f（t）的频谱F（ω）可以由f（t）的采样点与截断三角函数正交基来表示。同样频带无限信号也可（以能量集中带宽为基础）如此得到近似的频谱。

现在假设f（t）的带宽为，以等间隔采样得采样点序列为

{…，f₀，f₁，…，fN，…}(www.xing528.com)

则它的频谱F（ω）形式为

把非本质的常数项W，2π去掉，即伸缩变换到简单形式，实际中需要的话相应伸缩回去就行了

式（4-34）称为离散时间序列{…，f₀，f₁，…，f_N，…}的傅里叶变换。从上面的讨论知，考虑信号的频谱，除了最直接的按信号的傅里叶变换定义来看，这里又多提供了一种方法，即以采样点序列的傅里叶变换来讨论。

现实信号总是时间有限的，频域无限的。那么按能量集中带宽采样只能得到有限个采样点，下面重点看看有限个采样点的情况。现在假设f（t）按能量集中部分以间隔T_s采样得到有限个采样点为

{f₀，f₁，…，fN_-1}

则信号f（t）的频谱F（ω）近似为

其中。把非本质的常数项去掉，得到该有限离散时间序列的傅里叶变换