发现信号的DNA：特殊采样点序列

在上面的讨论中，只要周期信号p(t)选得合适或者说L取得合适，例如，相邻两个重复片段可以没有交叉混叠，从而非常直观地，可以通过滤波器滤出一个片段，再频谱搬移到原信号f(t)的频谱应该在的位置就能重新得到f（f）了。

特别地，当pT(t)=δ(t)时，有。此时，p(t)与f(t)的乘积得到的信号为

从而从频域上来看有

在这种情况下，乘积信号的频谱除了重复外，重复的所有片段是完全一样的，如图4-1所示。

图4-1 信号被采样时域过程（左）和频域过程（右）

又因为信号∑f(nTp)δ（t-nTp）只与原信号f(t)的部分点有关，这些点可以被看成从原信号f(f)中取出来的样点，得到这些点的过程也很自然地被称为采样。而上面的推导又说明通过合适的采样得到的样点可以唯一准确还原原信号f(f)，从而得到著名的采样定理。(www.xing528.com)

定理4-1（采样定理） 对于频谱非0范围为-fc≤f≤fc赫兹的信号，当等间隔采样率fp>2fc（每秒），或者等价地，采样间隔（秒）时，采样点可以完整保存所有的信息，、同时，2fc（每秒）也被称为奈奎斯特(Nyquist)率。

三言两语

从上面基于频谱跟踪的推导也可以看出，其实也可以不等间隔采样，只要从采样后信号的频谱中能找到完整干净的一段频谱即可。各位去试试吧，看有没有什么发现？不过即使找到这样一个不等间隔采样，相对于等间隔采样有什么优势呢？

如果采样不满足采样定理，即采样率小于奈奎斯特率，将被称为欠采样。当欠采样发生时，频谱重复片段会有重叠，如图4-2所示。当发生重叠时，就不太好还原原信号了。

图4-2 信号欠采样造成频谱重叠

当满足采样定理时，我们说把采样后信号的频谱再滤出来一个重复片段即可恢复原信号，到底怎么滤？准确的数学描述或含义又是什么呢？下面我们就讨论如何通过滤出一个片段来恢复原信号。