课程设计的原理及设计方案优化

1.用窗函数法设计有限冲激响应滤波器

根据过渡带宽及阻带衰减要求，选择窗函数的类型并估计窗长度N（或阶数M=N-1），窗函数类型可根据最小阻带衰减A_s独立选择，因为窗长度N对最小阻带衰减A_s没有影响，在确定窗函数类型以后，可根据过渡带宽小于给定指标确定所拟用的窗函数的窗长度N，设待求滤波器的过渡带宽为Δω，它与窗长度N近似成反比，窗函数类型确定后，其计算公式也确定了，不过这些公式是近似的，得出的窗长度还要在计算中逐步修正，原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择较小的N，在N和窗函数类型确定后，即可调用MATLAB中的窗函数求出窗函数w[n]。

根据待求滤波器的理想频率响应求出理想单位抽样响应h_d[n]，如果给出待求滤波器频率响应为H_d（e^jω），则理想的单位抽样响应可以用下面的傅里叶逆变换式求出，即

在一般情况下，h_d[n]是不能用封闭公式表示的，需要采用数值方法表示；从ω=0到ω=2π采样N点，采用离散傅里叶反变换（IDFT）即可求出。

用窗函数w[n]将h_d[n]截断，并进行加权处理，得到

h[n]=h_d[n]w[n] （9.2.2）

如果要求线性相频特性，则h[n]还必须满足

h[n]=±h[N-1-n] （9.2.3）

根据式（9.2.3）中的正、负号和长度N的奇偶性，又将线性相位有限冲激响应滤波器分成四类。要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类。例如，要设计线性相位低通特性可选择h[n]=h[N-1-n]一类，而不能选h[n]=-h[N-1-n]一类。

验算技术指标是否满足要求，为了计算数字滤波器在频域中的特性，可调用Freqz子程序，如果不满足要求，可根据具体情况，调整窗函数类型或长度，直到满足要求为止。

2.用双线性变换法设计无限冲激响应数字滤波器

冲激响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从s平面到z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e^sT转换到z平面上。也就是说，第一步先将整个s平面压缩映射到平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e^sT将此横带变换到整个z平面上去。这样就使s平面与z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。映射关系如图9.2.1所示。

图9.2.1 双线性变换映射关系示意图

为了将s平面的整个虚轴jΩ压缩到平面轴上的-π/T～π/T段上，可以通过以下的正切变换实现

式中，T仍是采样间隔。当由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（9.2.4）写成

将此关系解析延拓到整个s平面和平面，令jΩ=s，，则得

再将平面通过以下标准变换关系映射到z平面，即

(www.xing528.com)

从而得到s平面和z平面的单值映射关系为

式（9.2.8）与式（9.2.9）是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。式（9.2.8）与式（9.2.9）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先，把z=e^jω代入式（9.2.8），可得

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆。

其次，将s=σ+jΩ代入式（9.2.9），得

因此

由此看出，当σ＜0时，|z|＜1；当σ＞0时，|z|＞1。也就是说，s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内，s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为s平面与z平面是单值的一一对应关系。s平面整个jΩ轴单值地对应于z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（9.2.10）所示，也可写成

式（9.2.13）表明，s平面上的Ω与z平面的ω成非线性的正切关系，如图9.2.2所示。

由图9.2.2看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图9.2.2 双线性变换法的频率关系

但是，双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（9.2.13）及图9.2.2所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图9.2.3所示。

图9.2.3 双线性变换的频率畸变

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。