用双线性变换法设计无限冲激响应数字滤波器

冲激响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从s平面到z平面的标准变换z=e^sT的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，提出采用双线性变换法。该法的基本思想是首先按给定的指标设计一个模拟滤波器，其次将这个模拟滤波器的系统函数H_a（s），通过适当的数学变换方法把无限宽的频带变换成频带受限的系统函数。最后再将进行常规z变换，求得数字滤波器的系统函数H（z）。这样由于在数字化以前已经对频带进行了压缩，所以数字化以后的频响可以做到无混叠效应。显然，寻找压缩频带而又能满足上述映射条件的变换式是个关键。

设将s平面映射到平面存在下列的关系式

式中，；C为变换常数，在式（5.4.1）的右边是以表示的周期函数，其周期为2π/T。如果考虑频率特性，则分别以s=jΩ、代入式（5.4.1）中，得

从式（5.4.2）可以看出，当经过0变化到-π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的±π/T之间的转换。

为了求出数字滤波器的系统函数，最后还得通过常规z变换将s平面变换到z平面上来，其关系式为

z=e^sT

将式（5.4.2）代入式（5.4.1）得到

或

式（5.4.4）是两个线性函数之比，称为线性分式变换，若把它展开求z，则得

可见，其逆变换也是线性分式函数，所以这种变换是双向的，因此叫做双线性变换。从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，其映射关系如图5.4.1所示。由于从平面s到平面的非线性频率压缩，使带限于π/Trad/s，因此再用冲激响应不变法从平面转换到z平面不可能产生频谱混叠现象。这就是双线性变换法的最大优点。另外，从平面转换到z平面仍然采用转换关系z=e^sT，平面的±π/T之间水平带的左半部分映射到z平面单位圆内部。虚轴映射为单位圆，这样H_a（s）是因果稳定的，转换成的H（z）也是因果稳定的。

双线性变换仍然具有将s的左半平面映射到z平面单位圆内、jΩ轴映射到单位圆上的基本性质。因为当σ=0时，z=1，说明s平面jΩ轴映射到z平面单位圆上。当σ＜0时，式（5.4.5）中的分母大于分子z＜1，说明s左半平面映射到z平面单位圆内。因而它们一一对应，有着单值关系，是一种保角变换（或保角映射）。

图5.4.1 双线性变换映射关系示意图

双线性变换法不仅解决了直接z变换中存在的混叠误差，而且还因为它是个代数变换，所以只要将s与z之间存在的简单代数关系，直接代入模拟滤波器的系统函数式中，就可以求得相应的数字滤波器的系统函数和频响。这样，模拟滤波器所具有的优良特性就得以保存。但是在运用双线性变换法时应当清楚看到，由于从s到的变换过程，频率关系不是线性的只有在低频段接近线性，频率越高，被压缩得越厉害，因而出现频率非线性畸变（扭曲），原模拟滤波器的转折点频率的位置因非线性而产生了变化，相频特性也因非线性而出现了畸变。

从式（5.4.2）可以推得，只有当很小，时，Ω与Ω之间才存在线性关系，即

如果取变换常数C=2/T，则有

故式（5.4.2）写成

式（5.4.4）和式（5.4.5）分别写成

否则，当ΩT＞0.3π时，而且随着的增加差别更大。为此，若关心的只是滤波器的幅频特性，为了补偿频率轴畸变，让变换后的位置不产生变化，可在设计过程取C=1，对特定频率（Ω_p，Ω_s，Ω_c）先进行预先畸变。设Ω_r表示给定指标的某一频率，则按下式将它预先畸变，得预畸后的频率为

将预畸变后的频率Ω从s平面变换到平面，按式（5.4.7）有

比较式（5.4.10）和式（5.4.11）得

可见，经过频率预畸后再进行域的变换就能保证，而不致造成与给定频率指标之间的误差。因此在设计过程中首先应对给定指标中的一些转折点频率进行预畸变，以此控制这些特定频率的位置，使变换前后的频率相一致，当然对其他频率还是存在不同程度的偏移。如果设计指标强调对某个特殊频率Ω_p在变换前后的一致性，那么变换常数C也可以针对按式（5.4.2）来确定，即

但这样不经过预畸设计出来的数字滤波器的频率响应，除在Ω_p点与模拟滤波器相符外，其他均存在偏差。用不同的方法确定待定常数C，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数C可以调节频带间的对应关系。

图5.4.2 双线性变换法的频率关系

注意：实质上是Ω与之间存在严重的非线性关系，但数字滤波器角频率ω与之间满足线性关系，。由于，故Ω与ω之间间接存在着非线性关系，如图5.4.2所示。因此通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同，但映射是一一对应的，如图5.4.3所示。

图5.4.3 双线性变换的频率畸变

与冲激响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性关系得到s平面与z平面的单值一一对应关系，整个jΩ轴单值对应于单位圆一周。在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢（ω终止于折叠频率处），所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。

双线性变换法的缺点：Ω与ω的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变（使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变）。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。

另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波器就不再有线性相频特性。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

双线性变换法比冲激响应不变法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟滤波器的系统函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的系统函数。这些都比冲激响应不变法的部分分式分解便捷得多。一般当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用冲激响应不变法较好，而其他情况下，对于无限冲激响应数字滤波器的设计，大多采用双线性变换法。

【例5.4.1】 设有一模拟滤波器(www.xing528.com)

H_a（s）=1/（s²+s+1）

抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变成数字系统函数H（z）。

解 双线性变换法使模拟系统函数的s平面和离散系统函数的z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为

取，则得

所以

【例5.4.2】 要求从二阶巴特沃斯模拟滤波器用双线性变换法导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。

解 通过查表可得归一化的二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为

则将p=s/Ω_c代入上式，得出截止频率为Ω_c的模拟原型为

由双线性变换公式可得

【例5.4.3】 设数字滤波器的技术指标为

0.89125≤|H（e^jω）|≤1 （0≤ω≤0.2π）

|H（e^jω）|≤0.17783 （0.3π≤ω≤π）

用双线性变换法设计巴特沃斯滤波器。

解 为了克服双线性变换的频率畸变，设计前先对数字滤波器的临界频率作预畸变处理，使其对应于模拟滤波器的临界频率。对应的模拟滤波器的技术指标为

为方便起见，取T=1。因为模拟巴特沃斯滤波器具有单调的幅频特性，因此有

|H_a（j2tan（0.1π）|=0.89125

和

|H_a（j2tan（0.15π）|=0.17783

将上两式代入巴特沃斯滤波器的幅度二次方函数，有

和

解上述两个联立方程，得

取N=6，并将之代入式（5.4.15），得

Ω_c=0.766

若用Ω_c的这个值，则可超过通带指标并完全满足阻带指标。对于双线性变换法这是合理的，因为不必担心混叠问题。这样，经过适当的预畸变处理后可以肯定，得出的数字滤波器在要求的阻带边缘处将完全满足技术指标。

在s平面内，幅度二次方函数的12个极点均匀分布在半径为0.766的一个圆周上，左半平面的6个极点分别为

s₁=s^∗₆=0.7662e^j105°=-0.1983+j0.7401

s₂=s^∗₅=0.7662e^j135°=-0.5418+j0.5418

s₃=s^∗₄=0.7662e^j165°=-0.7401+j0.1983

模拟滤波器的系统函数为

把代入上式得

图5.4.4 用双线性变换法设计的巴特沃斯滤波器特性

图5.4.4是用双线性变换法得到的6阶巴特沃斯滤波器的幅频与相频特性，在ω=0.2π处幅度下降0.5632dB，在ω=0.3π处下降15dB。因为双线性变换将s平面的整个jΩ轴映射成z平面的单位圆，所以数字滤波器的幅频特性要比原始模拟滤波器的幅频特性下降得快得多。特别是H（e^jω）在ω=π处的特性对应于H_a（jΩ）在Ω=∞处的特性。因此，由于模拟巴特沃斯滤波器在s=∞处有一个6阶零点，所以得出的数字滤波器在z=-1处也有一个6阶零点。