离散傅里叶变换：正弦信号频谱分析

正弦信号Acos（ω₀n+θ）的离散时间傅里叶变换是在ω₀和-ω₀处的一对冲激函数（以2π为周期重复）。当利用离散傅里叶变换分析正弦信号时，加窗和频率采样有着重要的影响。后面分析会看到，加窗使得理论的傅里叶表示中的冲激函数平滑或展宽，因此很难精确确定频率。加窗也降低了对频率上十分靠近的正弦信号的分辨能力。离散傅里叶变换固有的频谱采样有可能给出正弦信号真实谱的错误导向或不准确的频谱图。

1.加窗的影响

有两个正弦分量之和组成的连续时间信号，即

s_c（t）=A₀cos（Ω₀t+θ₀）+A₁cos（Ω₁t+θ₁） （-∞＜t＜∞） （2.7.6）

假设采样是理想的，没有混叠和量化误差，这样我们可以得到离散时间信号

x[n]=A₀cos（ω₀n+θ₀）+A₁cos（ω₁n+θ₁） （-∞＜n＜∞） （2.7.7）

式中，ω₀=Ω₀T；ω₁=Ω₁T。

在图2.7.1中加窗后的序列υ[n]则为

υ[n]=A₀w[n]cos（ω₀n+θ₀）+A₁w[n]cos（ω₁n+θ₁） （2.7.8）

为了得到υ[n]的傅里叶变换，可以利用复指数将式（2.7.8）展开，并利用频移性质。则υ[n]写成

则其傅里叶变换为

根据式（2.7.10），加窗信号的傅里叶变换包含重复出现在频率±ω₀和±ω₁处的以及按组成该信号的每个复指数的复振幅换算的窗函数的傅里叶变换。

假设在图2.7.1中，采样频率1/T=10kHz，矩形窗w[n]长度为64，信号的幅度和相位参数分别为A₀=1、A₁=0.75及θ₀=θ₁=0。下面分析加窗对正弦信号傅里叶分析的影响。

图2.7.3a画出了W（e^jω），而图2.7.3b～e分别画出了对于式（2.7.6）中的Ω₀和Ω₁，或等效的式（2.7.7）中的ω₀和ω₁取几个不同值时的|V（e^jω）|的图形。在图2.7.3b中，Ω₀=（2π/6）×10⁴和Ω₁=（2π/3）×10⁴，或等效ω₀=2π/6和ω₁=2π/3。在图2.7.3c～e中这些频率逐渐靠近。对于图2.7.3b中的参数，每个分量的频率和振幅是比较清楚的。具体地讲，从式（2.7.10）可以看出，由于W（e^jω）有一个高度为64的峰，并且在ω₀和ω₁处W（e^jω）的副本之间没有重叠，因此在ω₀处将会有一个高度为32A₀的峰，在ω₁处将会有一个高度为32A₁的峰。在图2.7.3b中，两个峰大约在ω₀=2π/6和ω₁=2π/3处，其高度之间有正确的比例。图2.7.3c中在ω₀和ω₁处窗的副本之间有较多重叠，然而两个可区分的峰仍存在，在ω=ω₀处频谱的幅度受到在频率ω₁处正弦信号振幅的影响，反之亦然。这种相互影响成为频率泄漏。具体讲，就是由于窗函数引入的频谱平滑作用，使得在一个频率处的分量泄漏到相邻的另一个分量中去。图2.7.3d表示泄漏很大的情况。要注意，加入异相的旁瓣将能够降低峰的高度。图2.7.3e中在ω₀和ω₁处谱窗之间的重叠十分明显，使得在图2.7.3b～d中可以看到的两个峰合并成一个。换句话说，由于这个窗的影响，使得与图2.7.3e对应的两个频率在频谱中成为不可分辨的。

图2.7.3 加矩形窗之余弦的频谱

a）矩形窗的傅里叶变换 b）～c）当频率间隔逐渐减小时加窗余弦的傅里叶变换

图2.7.3 加矩形窗之余弦的频谱（续）

d）～e）当频率间隔逐渐减小时加窗余弦的傅里叶变换

作为对信号加窗后的结果，分辨率降低和发生泄漏是对频谱的两种主要影响。分辨率主要受W（e^jω）主瓣宽度的影响，而泄漏的程度则取决于W（e^jω）的主瓣和旁瓣的相对幅度。在后续滤波器设计的论述中，将详细讨论窗的长度、窗的形状、主瓣宽度和相对旁瓣幅度之间的关系。

2.频谱采样的影响

正如前面所提到的，加窗序列υ[n]的离散傅里叶变换给出了V（e^jω）在N个等间隔的离散时间域频率ω_k=2πk/N（k=0，1，…，N-1）处的样本。这等效于在连续时间域频率Ω_k=（2πk）/（NT）（k=0，1，…，N-1）处的样本。下标k=N/2+1，…，N-1对应于负连续时间频率-2π（N-k）/（NT）。离散傅里叶变换引入的频谱采样有时可能导致错误的结果。对于这种情况，下面通过一个具体例子来说明。

【例2.7.3】 设正弦信号为

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矩形窗w[n]的长度为64，则加窗后的序列为

试分析其频谱。

解 图2.7.4a绘出了加窗序列υ[n]，图2.7.4b～e分别表示长度为N=64的离散傅里叶变换的相应实部、虚部、幅度和相位。图2.7.4f表示|V（e^jω）|，与图2.7.4c相对应，在图2.7.4b～e中，水平轴表示频率样本数k，k=32对应于ω=π或相当于Ω=π/T。由于离散傅里叶变换的固有周期性，这一范围内的前一半对应于正的连续时间频率，即Ω从0到π/T；后一半对应于负频率，即Ω从-π/T到0；实部和幅度呈偶周期对称性，虚部和相位呈奇周期对称性。图2.7.4d中离散傅里叶变换的幅度相当于图2.7.4（f）中画出的频谱幅度的样本，可以看到它集中在输入信号的两个正弦分量的频率ω=2π/7.5和ω=2π/14的周围。由ω₁=4π/15=2πk/64可得k=8.533，所以ω₁位于k=8到k=9所对应的离散傅里叶变换样本之间。同样，由ω₀=2π/14=2πk/64可得k=4.571，所以ω₀位于k=4到k=5所对应的离散傅里叶变换样本之间。这样在图2.7.4f谱峰的频率位置处于从离散傅里叶变换得到的谱样本之间。通常，离散傅里叶变换值中峰值的位置不一定与傅里叶变换中峰值的真正频率位置相重合，这是因为真正的谱峰可以位于谱样本之间。从图2.7.4d、f的比较，可以看到，在离散傅里叶变换中峰的相对幅度不一定能正确反映真实谱峰的相对幅度。

图2.7.4 加了矩形窗的余弦序列及其离散傅里叶变换

a）加窗的信号 b）DFT的实部 c）DFT的虚部

图2.7.4 加了矩形窗的余弦序列及其离散傅里叶变换（续）

d）DFT的幅度 e）DFT的相位 f）DTFT的幅度

【例2.7.4】 设正弦信号为

矩形窗w[n]的长度为64，则加窗后的序列为

试分析其频谱。

解 与例2.7.3非常相似，不同的是余弦函数的频率与两个离散傅里叶变换的频率完全重合。具体讲，频率ω₁=2π/8=2π8/64完全对应于k=8的离散傅里叶变换样本；频率ω₀=2π/16=2π4/64完全对应于k=4的离散傅里叶变换样本。

v[n]的64点离散傅里叶变换的幅值图2.7.5b所示，它对应于V（e^jω）（见图2.7.5c）在间隔为2π/64的各频率处的样本值。从图中可以看到，虽然这个例子的信号参数与例2.7.3非常相似，但是离散傅里叶变化的形状却完全不同。特别是，在本例中离散傅里叶变换在信号的两个正弦分量的频率处有两根很高的谱线，而在其他的离散傅里叶变换值处没有频率分量。事实上，图2.7.5b中离散傅里叶变换的这种“干净”的外形主要是由频谱的采样而得到的一种假象。比较图2.7.5b、c后可以看出，之所以出现图2.7.5b的这种“干净”的外形，是因为对于这种参数的选择，傅里叶变换在离散傅里叶变换的采样频率处，除与k=4，8，56和60对应的频率外，其他值完全为0。虽然图2.7.5a的信号几乎在所有的频率处都有明显的值，但由图2.7.5c显然可见，由于谱的采样，在离散傅里叶变换中却无法见到这些。

由于信号频率均为2π/64的整数倍，所以信号的周期为N=64的周期信号。因此，64点的矩形窗正好取为一个周期，这就是周期信号傅里叶级数所要求的（实际上从图2.7.5a可以看出v[n]也是周期为8的周期序列）。如果用补零的方法将υ[n]扩展为一个128点的序列，所对应的128点离散傅里叶变换如图2.7.5d所示。这种细化的谱采样，使得在另一些频率处存在的幅值就显露出来了。这种情况下，加窗信号当然就不是周期为128的周期序列信号。

图2.7.5 加窗正弦信号及其傅里叶分析

a）加窗的信号 b）DFT的幅度

从图2.7.5d可以看到，在计算离散傅里叶变换之前给窗序列补零以便能得到频率等分较密的傅里叶变换。但是必须认识到，补零并不能提高分辨率，分辨率只能取决于窗的长度和形状。

图2.7.5 加窗正弦信号及其傅里叶分析（续）

c）DTFT的幅度 d）增加采样点的DFT