离散傅里叶变换的共轭对称特性

前面介绍了离散时间傅里叶变换（DTFT）的共轭对称性，那里的对称性是指对坐标原点的共轭对称性。离散傅里叶变换（DFT）也有类似的共轭对称性。但离散傅里叶变换中涉及的序列x[n]和X[k]都是主值区间的主值序列，因而它们的对称性是指一个周期内的对称，即N/2点的共轭对称性。

下面先介绍周期共轭对称序列和周期共轭反对称序列的概念，然后再讨论它们的共轭对称性。

1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列

假设有限长序列x_ep[n]满足

x_ep[n]=x^∗_ep[N-n] （n=0，1，2，…，N-1） （2.5.11）

则称x_ep[n]为共轭对称序列。

如果有限长序列x_op[n]满足

x_op[n]=-x^∗_op[N-n]，（n=0，1，2，…，N-1） （2.5.12）

则称为共轭反对称序列。

将n=0，1，2，…，N-1代入式（2.5.11）和式（2.5.12），容易看出这里均指关于N/2点的共轭对称或共轭反对称，即

任意有限长序列x[n]都可以用它的共轭对称分量和共轭反对称分量之和表示，即

x[n]=x_ep[n]+x_op[n] （2.5.13）

下面推导x_ep[n]和x_op[n]与原序列x[n]的关系。将式（2.5.13）中的n用N-n代替，并两边取共轭，得到

x^∗[N-n]=x^∗_ep[N-n]+x^∗_op[N-n]=x_ep[n]-x_op[n] （2.5.14）

由式（2.5.13）和式（2.5.14）得到x_ep[n]和x_op[n]与原序列x[n]的关系为

2.离散傅里叶变换的共轭对称性

假设序列x[n]的长度为N，其N点离散傅里叶变换用X[k]表示。下面讨论离散傅里叶变换的共轭对称性质。

1）将序列x[n]分成实部和虚部，相应x[n]的离散傅里叶变换分成共轭对称和共轭反对称两部分。即

x[n]=x_r[n]+jx_i[n] （2.5.17）

X[k]=X_ep[k]+X_op[k] （2.5.18）

式中，x_r[n]=Re{x[n]}，x_i[n]=Im{x[n]}，则

即

同理可得

DFT{jx_i[n]}=X_op[k] （2.5.20）

2）将序列x[n]分成共轭对称和共轭反对称两部分，相应x[n]的离散傅里叶变换分成实部和虚部，即

x[n]=x_ep[n]+x_op[n] （2.5.21）

X[k]=X_r[k]+jX_i[k] （2.5.22）(www.xing528.com)

式中，X_r[k]=Re{X[k]}，X_i[k]=Im{X[k]}，则

即

DFT{x_ep[n]}=X_r[k] （2.5.23）

同理可得

DFT{x_op[n]}=jX_i[k] （2.5.24）

3）实信号离散傅里叶变换的特点。

①设x[n]是长度为N的实序列，其N点离散傅里叶变换用X[k]表示，则由式（2.5.19）知道X[k]具有共轭对称性，即

X[k]=X^∗[N-k] （2.5.25）

②如果将X[k]写成极坐标形式X[k]=X[k]e^jθ[k]，由共轭对称性质，说明X[k]的模关于k=N/2点偶对称，相位关于k=N/2点奇对称，即

X[k]=X[N-k]，θ[k]|=-θ[N-k] （2.5.26）

利用离散傅里叶变换的共轭对称性质可以减少实序列的离散傅里叶变换的计算量。一种情况是利用计算一个复序列的N点离散傅里叶变换，很容易求得两个不同实序列的N点离散傅里叶变换；另一种情况是实序列的2N点离散傅里叶变换，可以用复序列的N点离散傅里叶变换得到。

先介绍第一种情况。设x₁[n]和x₂[n]是实序列，长度均为N，用它们构成一个复序列

x[n]=x₁[n]+jx₂[n]

对上式进行N点离散傅里叶变换，得到

X[k]=DFT{x[n]}=X_ep[k]+X_op[k]

利用式（2.5.19）和式（2.2.20），得到

这样只计算一个N点离散傅里叶变换，得到X[k]，用式（2.5.27）和式（2.5.28）容易得到两个实序列的N点离散傅里叶变换。显然，计算一个N点离散傅里叶变换需要N²次复数乘法运算，再按照式（2.5.27）和式（2.5.28）计算X₁[k]和X₂[k]则不再需要乘法。但如果分别计算它们的离散傅里叶变换，则需要2N²次乘法，因此复数乘法次数减少了一半。

再介绍第二种情况。实序列的2N点离散傅里叶变换，可以用复序列的N点离散傅里叶变换得到。

设v[n]是一个长度为2N的实序列，首先分别用υ[n]中的偶数点和奇数点形成两个长度为N的新序列x₁[n]和x₂[n]，即

x₁[n]=υ[2n] （0≤n≤N-1）

x₂[n]=υ[2n+1] （0≤n≤N-1）

再由x₁[n]和x₂[n]构造长度为N的复序列x[n]，即

x[n]=x₁[n]+jx₂[n] （0≤n≤N-1）

计算x[n]的N点离散傅里叶变换，因为x₁[n]和x₂[n]均是实序列，利用式（2.5.27）和式（2.5.28）得到X₁[k]和X₂[k]。最后由X₁[k]和X₂[k]可以得到实序列υ[n]的2N点离散傅里叶变换，即V[k]。

在离散傅里叶变换的快速算法中，将证明由X₁[k]和X₂[k]计算V[k]的公式为

直接计算V[k]的2N个值需要（2N）2=4N²次乘法，但采用这种方法，计算x[n]的N点离散傅里叶变换需要N²次乘法，由X₁[k]和X₂[k]计算V[k]只需要N次乘法，总乘法次数为N²+N，当N＞＞1时近似为N²次，节省3/4的乘法运算量。