求解离散时间线性移不变离散系统的状态方程

离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。下面主要讨论时域法中的递推法和变换域法中的z变换法。

1.递推法

递推法也称迭代法，用递推法求解线性常系数离散时间系统的状态方程

λ[n+1]=Αλ[n]+Βx[n] （1.5.34）

时，只需在状态方程中依次令n=0，1，2，…，从而有

λ[1]=Αλ[0]+Βx[0]

λ[2]=Αλ[1]+Βx[1]=Α²λ[0]+AΒx[0]+Βx[0]

︙

若给出初始状态λ[0]，即可递推算出λ[1]，λ[2]，λ[3]，…，重复以上步骤，可以得到线性离散系统状态方程的递推求解公式为

式中的第2项为离散卷积和，因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式

若初始时刻n₀不为0，则式（1.5.36）的解可表达为

或

与连续系统状态方程求解类似，对线性离散系统的状态方程求解，也可引入状态转移矩阵。该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解，即

Φ[n+1]=AΦ[n] Φ[0]=I （1.5.39）

用递推法求解差分方程式（1.5.39）可得

Φ[n]=Aⁿ （1.5.40）

因此，可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式为

或

对n值的限制以阶跃信号的形式写入表达式（1.5.41），于是有

同理可解得输出为

对上述离散系统状态方程的求解公式，有如下几点说明：

1）与连续系统类似，离散系统状态响应也由两部分组成，一部分为由初始状态引起的响应，与初始时刻后的输入无关，称为系统状态的零输入响应；另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应，与初始时刻的状态值无关，称为系统状态的零状态响应。

2）引入状态转移矩阵概念表示之后，线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致，都由零输入响应和零状态响应叠加组成，只是相应的零状态响应在形式上略有不同，一为求积分（卷积），一为求和（离散卷积），但本质是一致的。

3）在由输入所引起的状态响应中，第k个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值，而与该时刻的输入采样值u[k]无关。这即为计算机控制系统固有的一步时滞。

4）关于Aⁿ的计算。计算状态转移矩阵Φ[n]，即Aⁿ，利用凯莱-哈密顿定理(https://www.xing528.com)

A^j=c₀I+c₁A+c₂A²+…+c_n-1A^n-1（j≥n） （1.5.45）

设α_i（i=1，2，…，n）为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数c₀，c₁，…，c_n-1

将c₀，c₁，…，c_n-1代入式（1.5.45）即可得Aⁿ。若A的特征根为重根的情况，例如α₁为A的m阶重根，则对重根部分计算为

2.z变换法

和连续系统的拉普拉斯变换方法类似，离散系统的变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。离散系统的状态方程和输出方程为

式（1.5.48）两边取z变换

整理得到

式（1.5.50）两边取其逆变换即得时域表示式为

状态转移矩阵即为

Aⁿ=Z^-1{（zI-A）-1z}=Z^-1{（I-z^-1A）-1} （1.5.52）

或

A^n-1u[n-1]=Z^-1{（zI-A）-1} （1.5.53）

【例1.5.9】 已知某系统的状态方程和初始状态分别为

试求系统状态在输入x[n]=u[n]时的响应。

解

方法一：用递推法求解。

分别令n=0，1，2，…，则由状态方程有

类似地，可继续递推下去，直到求出所需要时刻的解为止。

方法二：用z变换法求解。

先计算（zI-A）^-1

因此，有

由z变换，有

因此，有