求解离散时间系统的差分方程

常系数线性差分方程的一般形式可表示为

式中，a_k和b_r是常数，已知输入信号x[n]的位移阶次是M，输出响应y[n]的位移阶次即表示此差分方程的阶次N。

求解常系数线性差分方程的方法一般有以下5种：

（1）迭代法

包括手工计算逐次代入求解或利用计算机求解。这种方法概念清晰，比较简便，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析表达式作为答案。

（2）时域经典法

与微分方程的时域经典法类似，先分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求解待定的系数。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用。

（3）分别求零输入响应与零状态响应

可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和的方法求零状态响应。与连续时间系统的情况类似，卷积方法在离散时间系统分析中同样占有十分重要的地位。

（4）算子符号法

引入一系列算子及基于这些算子的运算，将差分方程转化为运算方程，从而简化差分方程的求解。算子符号法是由时域分析转向变换域分析的一种过渡形式。

（5）变换域方法

类似于连续时间系统分析中的拉普拉斯变换方法，利用z变换方法求解差分方程有许多优点，这是实际应用中简便而有效的方法。

下面将着重讨论时域经典法和求取零输入响应与零状态响应的方法。

1.时域经典法

差分方程的时域经典解法是把解分成齐次解y_h[n]和特解y_p[n]，其完全解为

y[n]=y_h[n]+y_p[n] （1.5.14）

式（1.5.13）的差分方程对应的齐次方程为

可以证明其解具有y_h[n]=Cα_n的形式。称

a₀α^N+a₁α^N-1+…+a_N-1α+a_N=0 （1.5.16）

为上述差分方程的特征方程，此特征方程的根α₁，α₂，…，α_N称为差分方程的特征根。在特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为

y_h[n]=C₁αⁿ₁+C₂α₂ⁿ+…+C_Nαⁿ_N。 （1.5.17）

在有重根的情况下，齐次解的形式将略有不同。假定α₁是特征方程的K重根，那么在齐次解中，相应于α₁的部分将有K项，即

y_h[n]=C₁n^K-1αⁿ₁+C₂n^K-2αⁿ₁+…+C_K-1nαⁿ₁+C_Kαⁿ₁ （1.5.18）

当特征根为共轭复数时，齐次解的形式可以是等幅、增幅或衰减等形式的正弦（余弦）序列。

为求得特解，首先将激励函数x[n]代入方程式右端（也称自由项），观察自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函数式，将此特解函数代入方程后再求待定系数。一般情况下，若激励函数代入方程式右端出现n^k形式的函数，则特解选

y_p[n]=D₀n^k+D₁n^k-1+…+D_k （1.5.19）

出现aⁿ形式的函数，且a不是此差分方程的特征根，则特解选

y_p[n]=Daⁿ （1.5.20）

a是此差分方程的特征单根，则特解选

y_p[n]=（D₁n+D₀）aⁿ （1.5.21）

a是此差分方程的r重特征单根，则特解选

y_p[n]=（D_rn^r+D_r-1n^r-1+…+D₁n+D₀）aⁿ （1.5.22）

在一般情况下，对于N阶差分方程，应给定N个边界条件，例如取y[0]，y[1]，…，y[N-1]。利用这些条件，代入完全解（齐次解+特解）的表达式，可以构成一组联立方程，求得N个系数C₁，C₂，…，C_N。考虑没有重根的情况，此时方程的全解为

y[n]=C₁αⁿ₁+C₂αⁿ₂+…+C_Nαⁿ_N+D[n] （1.5.23）

式中，D[n]表示它的特解，其余各项之和为齐次解。引用边界条件可建立如下方程组

将此方程组写作矩阵形式

简写作

Y[k]|_N×1-D[k]|_N×1=V_N|×NC|_N×1 （1.5.26）

借助范德蒙特（Vandermonde）逆矩阵V^-1可求得系数C的一般表达式为

C=V^-1{Y[k]-D[k]} （1.5.27）

【例1.5.4】 求差分方程y[n]+2y[n-1]=x[n]-x[n-1]的完全解，其中x[n]=n²，y[-1]=-1。

解

由特征方程α+2=0得特征根为α=-2，所以有

y_h[n]=C₁（-2）ⁿ

激励信号=n²-（n-1）²=2n-1，故选特解为y_p[n]=D₀n+D₁。

代入差分方程得

D₀n+D₁+2D₀（n-1）+2D₁=2n-1

3D₀n+3D₁-2D₀=2n-1

解出系数为

所以

代入边界条件，求待定系数C1

得

完全解的闭合表达式为

【例1.5.5】 求差分方程y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=x[n]-x[n-1]的完全解，其中激励函数x[n]=n²-2n，且已知y[1]=1，y[2]=1。

解

由特征方程α²+α-6=0得特征根α₁=2，α₂=-3，所以有

y_h[n]=C₁2ⁿ+C₂（-3）ⁿ

激励信号=n²-2n-[（n-1）²-2（n-1）]=2n-3，故选特解为y_p[n]=D₀n+D₁，代入差分方程得

D₀n+D₁+D₀（n-1）+D₁-6[D₀（n-2）+D₁]=2n-3

-4D₀n-4D₁+11D₀=2n-3

比较两边系数得

所以

代入边界条件y[1]=1和y[2]=1，求待定系数C₁和C2

得，完全解的闭合表达式为

【例1.5.6】 已知差分方程y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=x[n]-x[n-1]，初始条件为y[0]=0，y[1]=0，激励信号为

求其完全响应。

解

由特征方程α²+3α+2=0得特征根α₁=-1，α₂=-2，所以有

y_h[n]=C₁（-1）ⁿ+C₂（-2）ⁿ

此类问题需分区考虑初始条件：

x[-1]=0，x[0]=1，x[1]=-2，x[2]=4，y[0]=0，y[1]=0

解得，当n＜0时(www.xing528.com)

完全响应为y[n]=C₁（-1）n+C₂（-2）n代入初始条件得

解得

所以有

y[n]=2（-1）ⁿ-3（-2）ⁿ

当n=0时

因为x[n]=δ[n]，故选特解为y_p[n]=D，代入差分方程得

D+3D+2D=1

解出系数为，所以有

代入初始条件y[0]=0，y[1]=0，得

解得

所以

当n≥1时

因为-2是差分方程的特征单根，所以有

y_p[n]=（D₁n+D₀）（-2）ⁿ

代入差分方程化简得

解出D₁=1，D₀=0，所以有

y_p[n]=n（-2）ⁿ

应用递推法，从差分方程可得

y[2]+3y[1]+2y[0]=x[2]-x[1]求出y[2]=6

完全响应为y[n]=y_h[n]+y_p[n]=C₁（-1）ⁿ+C₂（-2）ⁿ+n（-2）ⁿ，代入初始条件y[1]=0，y[2]=6，得

求出 C₁=-2，C₂=0

所以y[n]=-2（-1）n+n（-2）n

2.求零输入响应与零状态响应的方法

重写式（1.5.26）如下：

Y[k]|_N×1-D[k]|_N×1=V|_N×NC|_N×1

响应的边界条件y[k]可以分解为零输入响应的边界值y_zi[k]与零状态的边界值y_zs[k]两部分，即y[k]=y_zi[k]+y_zs[k]，在零输入条件下有D[k]=0，于是得到相应的系数C_zi值矩阵表示为

C_zi=V^-1Y_zi[k] （1.5.28）

而在零状态下，系数C_zs值矩阵表示为

C_zs=V^-1{Y_zs[k]-D[k]}=V^-1{Y[k]-Y_zi[k]-D[k]} （1.5.29）

系数C与C_zi、C_zs之间满足

C=C_zi+C_zs （1.5.30）

于是完全响应由以下两部分组成：

零输入响应：

零状态响应：

还需指出，差分方程的边界条件不一定由y[0]，y[1]，…，y[N-1]这一组数字给出。对于因果系统，常给定y[-1]，y[-2]，…，y[-N]为边界条件。若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指y[-1]，y[-2]，…，y[-N]都等于零（N阶系统），而不是指y[0]，y[1]，…，y[N]为零。

【例1.5.7】 已知系统的差分方程表达式为

y[n]+2y[n-1]=u[n]

且y[-1]=1，求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。

解

1）求零状态响应，令y[-1]=0。

由系统的特征方程α+2=0，可得齐次解为C（-2）ⁿ，而特解为D，完全解的形式为y[n]=C（-2）ⁿ+D。将特解代入方程得D+2D=1，D=1/3。将y[0]=1代入求C：C+D=1，所以C=2/3。因此系统的零状态响应为。

2）求零输入响应，令激励信号为0。

容易写出零输入响应为y_zi[n]=C_zi（-2）n，将y[-1]=1代入得C_zi=-2，因此零输入响应y[n]=（-2）ⁿ⁺¹。

3）系统的完全响应为

当差分方程阶次较低时，通常也用迭代法求解差分方程，比如差分方程为

y[n]=ay[n-1]+x[n]，其中x[n]=δ[n]，y[-1]=0，求其系统响应。

n=0 y[0]=ay[-1]+x[0]=0+δ[n]=1

n=1 y[1]=ay[0]+x[1]=a+0=a

n=2 y[2]=ay[1]+x[2]=a·a+0=a²

︙

n=ny[n]=ay[n-1]+x[n]=aⁿ

所以 y[n]=aⁿu[n]

3.单位抽样响应

单位抽样响应属于零状态响应。在连续时间系统中，研究单位冲激δ（t）作用于系统引起的响应h（t）可以便于求取系统在任意信号作用下的响应。对于离散系统，基于同样的原因考察单位抽样序列δ[n]作为激励而产生的系统响应h[n]——单位抽样响应。

求取单位抽样响应时，可以把单位抽样激励信号等效为起始条件，这样就把问题转化为求解齐次方程。

由于单位抽样响应h[n]表征了系统自身的性能，因此，在时域分析中可以根据h[n]来判断系统的某些重要特征，如因果性、稳定性，以此区分因果系统和非因果系统，稳定系统和非稳定系统。

离散线性移不变系统作为因果系统的充分必要条件为

h[n]=0 （当n＜0）

或

h[n]=h[n]u[n]

离散线性移不变系统作为稳定系统的充分必要条件为

既满足稳定条件又满足因果条件的系统是主要研究对象，这种系统的单位抽样响应h[n]是单边的而且是有界的，即

【例1.5.8】 已知系统的差分方程y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=x[n]-x[n-1]，求系统的单位抽样响应。

解

1）求齐次解。由特征方程α²+α-6=0解得α₁=2，α₂=-3，所以有

y_h[n]=C₁2ⁿ+C₂（-3）ⁿ

2）假定差分方程式右端只有x[n]项作用，不考虑x[n-1]项作用，求此系统的单位抽样响应h₁[n]。因为起始时系统是静止的，容易推知h₁[-2]=h₁[-1]=0，h₁[0]=δ[0]=1，h₁[1]=-1。以h₁[0]，h₁[1]作为边界条件建立方程组

解得系数

所以

3）只考虑x[n-1]项作用引起的响应h₂[n]。由线性移不变特性可知

4）将以上结果叠加，得到系统的单位抽样响应为