收敛域分析：1.3.5z变换的特性优化

z变换的收敛域是指对给定序列x[n]，使其z变换式（1.3.12）定义的罗伦级数绝对可和的那些z值组成的区域，即

因为收敛域只取决于z的模|z|，而z变换是中心在坐标原点的罗伦级数，因此，收敛域必然是以坐标原点为中心的圆环区域。圆环区域内侧圆的半径可以是0，此时，收敛域为圆区域；圆环区域外侧圆的半径可以是∞。

由于X（z）在收敛域内是解析的，因此在收敛域内没有奇点，奇点一定在收敛域的边界上或者收敛域之外。

如果序列是有限长的且有界，即只有N₁＜n＜N₂时，x[n]≠0且x[n]＜∞，表示为

它的z变换为

只有z=0和z=∞处z变换有可能出现极点。当N₁＜0时，z=∞处有极点；当N₂＞0时，z=0处有极点；此外整个复平面为收敛域。

如果序列是右边序列，即n＜N₁＜∞时，x[n]=0且x[n]＜∞，表示为

x[n]=x[n]u[n-N₁] （1.3.16）

若N₁＜0，则它的z变换为

式中，第二个等号右侧第一项为有限长序列，其收敛域为0≤|z|＜∞；对于第二项，若有z=z₁，使级数绝对收敛，即

则当|z|＞|z₁|时，也必定满足

将两个收敛域相与，且令R_x-为第二项求和是收敛的最小|z|值，结果右边序列的收敛域为

R_x-≤|z|＜∞ （1.3.18）

这表明收敛域是以R_x-为半径的圆外z平面。如果N₁＞0，称序列是因果性的。因果序列的收敛域包括z=∞在内。

在此注意，如果用式（1.3.10）定义的罗伦级数，其右边序列的收敛域是z＜R_x-。(www.xing528.com)

如果序列是左边序列，即n＞N₂时，x[n]=0且x[n]＜∞，表示为

x[n]=x[n]u[-n+N₂] （1.3.19）

若N₂＞0，则它的z变换为

式中，第二个等号右侧第二项是有限长序列，其收敛域为0＜|z|≤∞，第一项收敛域正好与右序列相反，表示为

0＜|z|＜R_x+

其中Rx+是第一项求和式收敛的最大|z|值。两个收敛域相与，得出左边序列的收敛域为

0＜|z|＜R_x+ （1.3.21）

这表明左边序列的收敛域是以Rx+为半径的圆内z平面。如果N2≤0，称序列是非因果性的。非因果序列的收敛域包括z=0在内。

在此注意，如果用式（1.3.10）定义的罗伦级数，其左边序列的收敛域是|z＞|R_x-。

如果序列是双边序列，即对任意n∈Z序列皆可能有非零值，它的z变换表示为

式中，第二个等号右端第一个级数是左边序列，收敛域是z＜R_x+；第二个级数是右边序列，收敛域为|z|≥R_x-。若Rx-＜Rx+，则存在公共的收敛域，即有

Rx-＜|z|＜R_x+ （1.3.23）

即双边序列是以Rx-和Rx+为界的圆环状收敛域。若Rx-＞Rx+，没有公共的收敛域，此时式（1.3.22）中x[n]的z变换不存在。

从上面的分析可以看出，收敛的特性和序列的性质是紧密相连的，不同性质的序列对应不同的收敛域，所以序列的z变换除去z变换的表示式之外，总是附加说明z变换的收敛域。但对单边z变换来说，一般只给出z变换的表示式，收敛域不再说明。这是由于单边z变换可以看成因果序列的z变换，即序列x[n]只有在n≥0时有值，n＜0时，x[n]=0，所以它的收敛域在以最大的R_x+值为半径的圆外全部z平面，包括z=∞在内。